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Ma S Nm = 1, onde si ha pure T Nm = 1, e quindi Nm è multiplo del 

 periodo n di T. Posto ~Nm=pn, si ha 



„ m n 



da cui, siccome — e ^ sono primi tra loro, segue che N dev'essere un 



n m I 



multiplo di -r . In modo analogo si vede che N è un multiplo di — * 

 o a 



Segue allora che N è multiplo anche del prodotto 



m n mn _ , ' 



yj- °- d - d - 



_ , mn 7 mn d . , 



Posto ora N = — • n = —r- '• t « 81 n * 

 o z oh 



é mn -, 



che è un numero intero, perchè -7- è multiplo di N. Indicato con iL 







numero — , questo numero q è un divisore di ó, e N si può scrivere 



v _ mn mn 



n 



e abbiamo così il teorema seguente: 



Se S e T sowo dwe operazioni permutabili,, se m è il periodo di S , 

 e n quello di T, se à è il massimo comune divisore tra m e n, il pe- 

 riodo N del prodotto ST è un numero della forma 



mn 

 **' 



dove q è un numero intero divisore di d (eventualmente q = 1 , ovvero 



In particolare, se <J = 1, allora è pure q = 1 , e quindi Hl — mn. 

 Dunque: 



& e due periodi m e n sono primi tra loro, allora il prodotto ST 

 ha il periodo uguale a mn . 



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