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Se però i due gruppi ciclici }S[ e }T{ generati dalle potenze di S 

 e di T, non hanno operazioni comuni, oltre l'identità, allora il prodotto 



rs 



ST ha l'ordine — . Infatti allora si ha (ST) N = S N . T" = 1 , e quindi 



S" = T -N = 1 , cioè N è multiplo di r e di s, e perciò anche del loro 

 rs 



rn. c. in. — 



2. Quello che ci proponiamo di fase ora è di trovare dei casi in cui 

 il valore di q si possa subito assegnare, e di trovare delle limitazioni per 

 i valori che può avere e . 



Diciamo in generale « il minimo resto positivo di N rispetto a m , e (! 

 quello di N rispetto a n. Vuol dire che devono esistere dei numeri interi 

 x e y, per cui si abbia 



(1) N = a -f- ccm = /? -j- yn , con < a < m , e n. 



Dimostriamo subito che se a = 0, allora è pure /? = 0. Infatti si ha 

 dalla (1) che S N = S a , e T N = TP, onde se « = 0, si ha 



(ST) N = S N . T" = S a . TP = TP = 1 , 



e perciò /? dev'essere multiplo di n ; e siccome /? < n , dovrà essere /9 = 0. 



C. d. d. 



Nel caso che sia a = p = 0, allora N è multiplo di m e di », e perciò 



allora si ha N = . Viceversa, se N = , allora si ha a = fi = 0. 

 o o 



Torniamo al caso generale. Siccome New sono multipli di , a 



o 



causa della (1) anche a sarà multiplo di — ; e così pure /S è multiplo 



di -7 • Poniamo 

 a 



Siccome < a < m , sarà < # < <?, e così pure <. A' < <f . 

 Le relazioni (1) si possono scrivere in generale 



( l ) Se S e T 6ono due sostituzioni sopra lettere, che non abbiano lettera comuni, 



vs 



allora il prodotto ST ha appunto l'ordine — . 



