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 da cui si ottengono le due seguenti: 



k n k' m 



Ora osserviamo che è « = 0, quando sia k = ; ed è § = 0, quando 

 sia k' = 0. Dunque : 



m n 



La coudizione necessaria e sufficiente affinchè sia N = —r- , è che uno 



o 



dei quattro numeri a , {! , k , k' , sia =0. Se uno di questi numeri è nullo, 

 allora sono nulli tutti quattro, e questo accade allora e allora soltanto che 

 sia 9 = 1. 



k 



Se 4=1' allora #={=0, e -j è una vera frazione (propria), e perciò, 



H 



a causa delle (2), anche sarà una vera frazione. Altrettanto dicasi per 

 m 



la frazione — • Abbiamo così il teorema : 

 ÓQ 



mn 



Posto l'ordine N di ST sotto la forma N = - — , se ^ =4= 1, allora 



j- e -j- sono due vere frazioni, cioè non uguali a numeri interi. 



E questa una limitazione per i valori che può avere q : tra tutti i 

 divisori q di J bisogna escludere per q tutti quelli, per i quali una delle 



due frazioni — e abbia un valore intero: a prescindere però dal valore 



Q — l, che è sempre un valore possibile per (>. 



3. Deduciamo alcune conseguenze da questo risultato. 



Se uno dei due numeri m e n è multiplo di d l , allora necessaria- 

 mente si ha N = , cioè uguale al minimo comune multiplo di m e n. 



Infatti se q è un divisore qualunque di ó , ò* è multiplo di òq ; sicché 



m 



se ad esempio m contiene S*, allora m è pure multiplo di óq, e perciò — 



risulta sempre intero, e l'unico valore possibile per q è q = 1. 



Segue in particolare : se il periodo m di S è muliplo di n* , allora 

 il periodo di ST è uguale a m (che è in tal caso il M. C. M. di m e n). 



Ricordiamo infine, a proposito di operazioni permutabili, questa pro- 

 prietà: se S e T sono due operazioni permutabili, ognuna di esse è permu- 

 tabile col prodotto ST, e in generale una qualunque potenza di S è per- 

 mutabile con una qualunque potenza di T; di più un qualunque prodotto 

 della forma S? T 3 è permutabile con un qualunque altro della forma S r T'. 



