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Matematica. — Sulle funzioni additive di campo. Nota di 

 Mauro Picone, presentata dal Oorrisp. Guido Fubini 



1. Si deve al prof. Fubini (') la proficua introduzione, nella trattazione 

 elementare degli integrali multipli, delle funzioni additive di campo e delle 

 loro derivate. 



Il teorema del prof. Fubini: 



non può esistere più di una funzione additiva delle porzioni t di un 

 dominio chiuso Sì, alla quale sia assegnato, in ogni punto di Sì, il valore 

 della derivata, 



può essere, assai utilmente applicato per dare rigorose e semplici dimo- 

 strazioni delle più importanti relazioni nella teoria degli integrali multipli. 

 Ciò mostrerò con qualche esempio, con intendimenti puramente didattici, in 

 note ulteriori. 



Per tali applicazioni giova però modificare la definizione di derivata di 

 una funzione di campo. 



Il dominio chiuso Sì in cui è definita la funzione S(t) delle porzioni x 

 di Sì sia quadrabile, e consideriamo porzioni t quadrabili, di cui indiche- 

 remo con r l'area. Sia P un punto di Sì. Secondo il prof. Fubini, 



per derivata di S(r) nel punto P, si intende il limite, se esiste, 

 del rapporto 



S(*) 



T 



nel mentre che tende a zero il raggio di un cerchio di centro in P, avente 

 nel suo interno la porzione variabile r. 



Con vantaggio nelle applicazioni a molte questioni di analisi, ci si può 

 invece limitare a considerare solamente dominii Sì e sue porzioni r quadra- 

 bili e regolari ( 2 ) e a dare la diversa definizione di derivata che si trova 

 al n. 3. 



2. Introduciamo alcune opportune denominazioni. 



Due raggi indefiniti paralleli e dello stesso verso, perpendicolari, nei 

 due estremi, ad un segmento a di retta, limitano con questo segmento una 

 porzione di piano, i cui punti sono proiettati ortogonalmente sulla retta di a 



(') G. Fubini, Lezioni di analisi matematica (S. T. E. N., 1915), capitolo XVl. 

 Cfr. anche le Note dello stesso A. in questi Rendiconti (seduta dell' 11 aprile 1915) e 

 neg'li Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino (voi. 50, pag. 293). 



(') Btgoluri nel senso precisato da Osgood \Lehrbuch der Fuuktionentheorie, 

 1° voi., 2 a ed., pagg. 51 e 179]. 



