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ove r x e r y sono le aree di rettangoloidi r x e r y relativi al punto P, nel 

 mentre che i diametri di questi rettangoloidi tendono a zero. 



Se il punto P è un punto ordinario del contorno di Sì e in P la tan- 

 gente al contorno è parallela all'asse x (all'asse y), per derivata nel punto P 

 si intende il limite, se esiste, del rapporto 



S(r„) / S(r«) \ 

 r y ' \ r K ) 



ove r y (r x ) è l'area di un rettangoloide r y (r x ) relativo al punto P, nel 

 mentre che il diametro di questo rettangoloide tende a zero. 

 4. Sussiste il teorema : 



Non può esistere più di una funzione additiva delle porzioni regolari 

 % di un dominio chiuso e regolare Sì, alla quale sia assegnato, in ogni 

 punto di Sì, il valore della derivata, nel senso definitivo del n. 3. 



Ciò discende dal 



Teorema della media: Se la funzione additiva S(t), delle porzioni 

 regolari % di Sì, possiede, in ogni punto di Sì, la derivata, nel senso defi- 

 nitivo al n. 3, e se questa derivata è una funzione F limitata, il rapporto 



S(«) 

 x 



è compreso fra il limite superiore L T e il limite inferiore l r della de- 

 rivata F in % . 



Di questo teorema si può dare la stessa dimostrazione data dal Fubini 

 per il teorema della media relativo alle funzioni additive aventi derivata 

 nel senso più esteso definito al n. 1. Basterà soltanto sostituire alle suddi- 

 visioni arbitrarie di Sì, eseguite dal Fubini, suddivisioni di Sì mediante 

 rette parallele agli assi coordinati : praticata nel piano una quadrettatura — 

 avente per assi gli assi coordinati — pur di scegliere minore di un certo 

 segmento il lato della quadrettatura, si perverrà a suddividere il dominio Sì , 

 in quadrati, in rettangoloidi e r y e, entro i quadrati della quadrettatura 

 che contengono punti singolari del contorno di Sì, in porzioni di Sì ade- 

 renti al contorno contenute in quadrati ( 1 ). Fatta questa suddivisione, se 

 fosse : 



S(i2) _' . ^ A 



>. L n -f s , con * > , 



ripetendo il ragionamento del Fubini e sostituendo al lato della quadrettatura 

 un suo sottomultiplo tendente a zero, si verrebbe a determinare un punto 



(') Cfr. in proposito Osgood, op. cit,, pag. 179, Sudditiiione di un domìnio rego- 

 lare in dominii di tipo normale. 



