Memoria: La geometria elementare istituita sulle nozioni di punto e 

 sfera (*). ■ ■ 



.Conviene, .inoltre, sviluppare, secondo le forme attuali, quanto ora in- 

 dichiamo, — Si dia una qualunque delle possibili definizioni di dislama 

 (o lunghezza) ( 3 ) in base ai concetti primitivi punto, sfera. — Si definisca, 

 col significato usuale, la somma, -j- , di due distanze. Dai postulati e teo- 

 remi di Pieri risulterà che la classe distanza è una « classe di grandezze 

 omogenee rispetto alla operazione -j- » { 4 ): varranno, quindi, per essa, le 

 ordinarie proprietà (*) e, in particolare, quelle, che a noi più interessano, 

 relative ai simboli (zero), > , <C , l'-li (limite superiore ed inferiore). 



Traducendo in simboli ideografici, faremo uso delle notazioni ordinarie ( 5 ) 

 od inoltre delle seguenti che sono in parte note ( 5 ) : 



dist {x , y)., «distanza del punto x dal punto y, col significato sta- 

 1 àlito per definizione (cf. sopra) » ; 



x s pnt . u e Cls' pnt . M u : D x . y : dist (x , u) = li [dist (x . y) | y ' u] , 



cioè, dist (x , u) , * distanza del punto .<• dalla figura (classe, non vuota, di 

 punti) u i è il « limite inferiore delle distanze di x dai. punti di u » ; 



. e= . ? [dist (x , x) \x' pnt] , 



cioè, 0, « zero », « distanza nulla % è la « distanza di un qualsiasi punto 

 da so stesso » ; 



Dist . e= . /i* a (se. , * , y e pnt . x - = y . h = dist (a; , 7)] , 



cioè, Dist, " distanza non nulla», è la * classe formata dalle dist (xf, y)., 

 variando x , y comunque sulla classe punto, purché sia x diverso da y ». 



* 



Le definizioni che formano principale oggetto di questa Nota sono ba- 

 sate sul concetto di * figura derivata della figura u » che, imitando quanto 

 «i fa per le classi di numeri reali ( 5 ), indicheremo con óu e definiremo 

 ponendo 



[1] ue Cls ' pnt ,51«: 0„ : óu . = . pnt n x ? [dist (x , u - ix) = 0] . 



( 2 ) Società italiana delle Scienze (detta dei XL), Serie 3 a , Tomo XV. 



( 3 ) C. B.urali-Porti, Nuove applicazioni degh operatori (Atti Acc. Torino, voi. IV,- 

 a., 1915, pp 6G9-684). 



( 4 ) S. Catania, Sulle condizioni che determinano una disse di grandezze (Atti Acc. 

 Torino, voi. LI, pp. 27-37). — Grandezze e numeri (N. Giannetta, Edit., Catania, 1915). — 

 Lunjhezze, aree, volumi (Periodico di matematica, a. XXXII). 



( 5 ) Formulario matematico, edito per G. Peano. [Cfr. anche la 2 l edizione, intie- 

 ramente rifatta, del mio « manuale Hoepli « Logica -matematica in corso di stampa e 

 di pr ssima pubblicazione. 



