cioè, Su, « figura derivata della figura u ». è la * figura i cui punti x sono 

 soltanto quelli che hanno distanza nulla dalla figura formata dai punti di u 

 che sono diversi da x « . 



Sostituendo a dist {% , u - 1 x) la espressione che la definisce mediante 

 il limite inferiore e lo stesso facendo per questo, la [1] assume .la forma 



[11 Hp[l.]:D„ :*«. = . 



pnt [/ie Dist . O ft . 3m - tee n ?/s J dist (a: , ?/) •< h j ] . 



cioè, « a? è un punto di Su « solamente quando « è un punto e comunque 

 si fissi la distanza non nulla h (piccola a piacere); esiste sempre almeno 

 un punto diverso da x ed appartenente ad u. che dista da x meno di li » . 

 Ciò esprime in modo assai semplice come è formata la <f«. 



* 



Segueudo le denominazioni usate per le classi di numeri reali ( 6 ), si 

 può dire che la figura u e perfetta » quando « u = Sù »; <• la figura m è 

 formata da punti isolati » quando «■ u e ó u non hanno elementi a comune, 

 cioè -U^ntJw) ». Ci sarà comodo introdurre le notazioni seguenti: 



Figp , « figura perfetta » 



Figo 1 * figura formata da punti isolati * 



che definiremo ponendo 



[2] Figp . == . Cls ' pnt n ua | Hw . u = Su j 



[3] Fig, . = . Cls ' pnt n w s j a w . - 3 (m n d«) | ( 7 ) 



cioè: Figp vale « classe di punti, non vuota, che coincide con la sua classe 

 derivata »; Fig„ vale « classe di punti, non vuota, che non ha punti a co- 

 mune .con la sua classe derivata » . 



+ 



¥■ * 



Definiamo ora la Fig r « figura di specie r * che corrisponde, in senso 

 lato (come vedremo), a linea per r = 1 , a superficie pér r— 2 , a solido 

 per r = 3. Tenendo conto della [3] possiamo comprendere in un'unica de- 



( 6 ) Cfr. ( 5 j Editici IV, pag. 121. 



(') Eliminando il ef, e sottintesa l'ipotesi weCls' pnt . 3w, si ha: 



[2'3 me Figp .-. — ;. x eu ■ he Dist . O u -h • S « - » # o y 3 { dist , y)< A ] : 



pnt n a? a ) dist(.r , «) = j . . u 



fj3'] w e Figo . = . 3 Dist o Aa { a; , y tu ; ss • = y . O a . y . dist [x , y) > h } . 



Si noti che pnt r> %3 [ dist (ce , u) = ] ò la « classe limite di u », A = u e? « [cfr. (*), 

 Editio V, pag. 177, P25;l]. 



