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Matematica. — Sopra uri equazione integro-dìfferenziale di 

 tipo Bòeher. Nota del prof. (). C. Evans (di Houston, Texas}, pre- 

 sentata dal Socio V. Volterra. 



1. Questo studio, destinato per certe conferenze all' Università di Cali- 

 fornia da tenersi nel 1918, ma interrotto dalla guerra e ripreso solamente 

 adesso, tratta di certe equazioni integro-ditferenziali ; e cioè di equazioni con- 

 tenenti e le derivate e gli integrali, ma, in questo caso, integrali eseguiti 

 sopra campi arbitrari e variabili, invece che sopra campi determinati, come 

 nel caso delle equazioni, già molto conosciute, del prof. Volterra. Perciò ho 

 dato loro il nome di chi le ha dapprima considerate, del Bòeher ('). 



Nel lavoro O/i harmonic functions in two dimensions ( 2 ), il Bòeher 

 considerò l'equazione 



essendo l'integrazione eseguita sopra le circonferenze di cerchi arbitrari, per 

 le funzioni u continue colle loro derivate di primo ordine. Sebbene l'equa- 

 zione ci riconduca alla solita equazione di Laplace e non dia risultati nuovi, 

 il metodo adoperato non fa uso dei risultati conosciuti per l'equazione di 

 Laplace, e si basa invece sulle proprietà dell'integrazione. 



L'equazione che considereremo è l'equazione di Poisson generalizzata 

 in modo analogo. La forma che ne risulta non si può ricondurre all'equa- 

 zione differenziale presa come punto di partenza. È possibile, invece, far uso 

 di tutta la generalità della teoria delle funzioni di variabili reali ; ed i ri- 

 sultati ottenuti si riferiscono essenzialmente a quella generalità e alla forma 

 integrale dell'equazione. Inoltre, facendo uso continuamente di enti a due 

 dimensioni, la teoria si avvicina di più a quella propria al problema corri- 

 spondente nella risica. 



2. Sia 2 un campo, limitato nel piano, e /'(e) una funzione addittiva 

 di insiemi normali di punti, la quale s'annulli se l'insieme e non contiene 

 qualche punto almeno di 2 . La funzione f(e) sarà la differenza di due tali 

 funzioni di insiemi, non negative; l'esempio più importante fra gii enti fisici 

 di una tale funzione è la carica elettrica. 



(') A questo soggetto è dedicata la conferenza IV di The Cambridge Golloquiuni» 

 Part I, dell'Autore; New York (1918). 



( s ) Proceedings of the American Academy of Science (1906). 



