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Alla f(e) facciamo corrispondere una funzione di linee F(s) nel piano: 



formula in cui n è la normale interna alla linea chiusa s, , ed r la distauza 

 Pi P da un punto di Sj a un punto di 2 La funzione di linee è anche 

 essa addittiva e di variazione limitata, differenza di due funzioni di tipo 

 positivo. 



L'equazione che risolviamo è la seguente: 



Per mezzo di una rete di quadrati, definita nella maniera del De la 

 Vallee Poussin, possiamo fare il passo inverso, e da una funzione di linee 

 addittiva e di variazione limitata ricavare una funzione addittiva di in- 

 siemi di punti. Infatti, se per caso la funzione di linee è continua (defini- 

 zione del Volterra), avremo f(e) = V(s) , in cui e è l'insieme dei punti in- 

 terni ad s. 



Se da una f(e) passiamo a una funzione di linee per mezzo della (1) 

 e poi torniamo per mezzo della seconda corrispondenza di nuovo a una fun- 

 zione di insiemi di punti, abbiamo quella da cui siamo partiti. Se invece 

 partiamo da una funzione di linee, passando ad una funzione f{e), e poi 

 tornando di nuovo per mezzo della (1), ricaviamo la stessa funzione di linee 

 per una linea in cui la funzione di linee è continua. Sopra una linea di 

 discontinuità, però, le discontinuità vengono ripartite in modo regolare: se 

 il tratto s di curva, per esempio, ha ovunque una tangente, e fa parte allo 

 stesso tempo dei due contorni reciprocamente esterni s l , s 2 , una metà della 

 discontinuità sopra 5' risulta compresa nella K(s,) e l'altra nella V(s s ) 



Si può dire dunque che consideriamo nella (A) una funzione di linee 

 nel campo 2 di variazione limitata, addittiva. arbitraria, purché abbia le 

 discontinuità distribuite in modo regolare. Corrisponde ad una funzione ad- 

 dittiva di insiemi, completamente arbitraria nel campo 2. 



Si consideri una famiglia S di linee chiuse s, semplici e rettificabili, 

 che contenga tutti i rettangoli e cerchi del piano, ma per ulteriori esten 

 sioni si possa limitare automaticamente per la necessità di fare convergere 

 gli integrali curvilinei che si devono eseguire. 



3. Definiamo delle derivate nelle diverse direzioni, in modo da accor- 

 darsi cogli enti a due dimensioni. Infatti, definiamo D h u , derivata geneia- 



(*) Per uno studio di simili integrali Lebesgue-Stieltjes, vedi Danieli, Annals of 

 Mathematica, voi. 19 (1918). 



(1) 



(A) 



