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lizzata nella direzione h della u, come il limite, se tale limite esiste, del- 

 1" espressione : 



(2) D h u = lim — ( u dti 



<r=0 J * 



in cui l'angolo hti = tz/2 , e con a si denoti l'area racchiusa dal contorno s. 

 L'area a deve tendere allo zero in modo che il rapporto a/d*, ove ^ è il 

 diametro di <r, non tenda allo zero. 

 Così si ha 



DocU= lim — \ udy , D v u = — lim — \ ud-x, 



e la legge del parallelogramma delle forze vale per queste derivate se 

 esistono: 



(3) D h u = D x ti cos xh -f- D y u cos yh . 



Sia <p h componente del vettore y> in una data direzione h, integrabile 

 nel senso di Borei sopra il piano. Se esiste una funzione u tale che si abbia 



(p h d(f = 



Ja . '8 



u dti 



per ogni contorno s di S , e per ogni direzione h, si dirà che la « è poten- 

 ziale del vettore g>. In questo caso esisterà la derivata D A w = <jp h , e questa 

 derivata soddisferà alla legge (3), tranne nei punti di un insieme di mi- 

 sura nulla, il quale si può scegliere indipendentemente dalla direzione h. 

 4. Se q (Pi , P) è funzione continua dei punti P, , P, si ha l'identità 



(4) f d Sì \ ? (Pi,P)d/(«)= ( j | q(? l ,?)ds l [df(e). 



Jsi JS JS \ Js% ; 



Se p(e) è una funzione cddittiva di insiemi, non negativa, e q(P\ , P) 

 una funzione di punti, non negativa, che diviene infinita per il solo punto 

 P = P, . ma è continua in P per gli altri valori, possiamo definire 



r/«>(P, , P) = q(P t . P) se q < n , 

 -= n se q » n . 



e finalmente 



(5) f q(P l . P) dp(e) = lim ( q in) (P, , P) d p(e) 



se tale limite esiste. Sommando quattro integrali di questo tipo si riesce a 

 definire la convergenza assoluta di \ q df(e) , in cui q non resta più noa 

 negativa, ed f(e) è la solita funzione di insieme, addittiva, arbitraria. 



