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Per mezzo di un'integrazione sopra un campo a si dimostra che gli 

 integrali 



J| - l^me) , j log ^dfie) 



esistono tutti, e sono integrabili nel senso di Borei. Inoltre, la funzione 

 di P, , J^°g ~ df(e) . è integrabile (B) lungo un tratto di retta qualsiasi, 

 o lungo una curva qualsiasi s purché sia tale che esista una costante A: 



A > j log - ds . 



per tutti i punti P, di s. 



Per mezzo delle equazioni (4) , (5) si hanno le identità seguenti : 



(6) f d *fz^r~ d f( e) = [ dh ' f z lo «T d ^ 



/mm\ (' , fcoswr ... . Ci C eosnr . 



(7) dsi df(e) =J 2 l ) Sj -y- *i s d t («) ■ 



Dalla (6) possiamo dedurre che la funzione y log — df {e) è potenziale 



delle sue derivate generalizzate, le quali esistono e soddisfano alla legge del 

 parallelogramma delle forze, tranne nei punti di un insieme E di misura 

 nulla, scelto indipendentemente dalla direzione h . E per mezzo delle (1) , (7) 

 si ha che la funzione 



(B) «(P,)-- j^log \ df(e) 



è soluzione della (A) per tutte le s x che non contengono punti di E in più 

 di un insieme di misura nulla lineare. 



5. Non esiste più di una sola soluzione della (A), che sia integrabile 

 nel senso di Borei, che sia potenziale delle sue derivate, e, sopra un con- 

 torno chiuso rettificabile, tranne nei punti di un insieme di misura nulla 

 lineare, prenda valori assegnati, supposto che la soluzione sia derivata fun- 

 zionale del suo integrale a due dimensioni per tutti i punti di tale contorno, 

 tranne per quelli di un insieme di misura nulla lineare. 



Infatti, la differenza di due tali funzioni è soluzione dell'equazione 



e ha tutte le sue discontinuità rimovibili. Così si possono senz'altro appli- 

 care i metodi del Bócher. 



Rendiconti. 1919, Voi. XXVIII, 1° Sem. 35 



