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Meccanica. — Sull'equivalenza fra le equazioni differenziali 

 di Hess-Schiff e quelle di Euler-Poisson ne Un teoria dei giroscopi 

 asimmetrici pesanti. Nota I di Orazio Lazz\rino, presentata dal 

 Corrisp. R. Marcolongo. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



Matematica. — Alcune proprietà delle operazioni permuta- 

 bili e delle sostituzioni regolari sopra lettere. Nota II di Paci- 

 fico Mazzoni, presentata dal Socio L. Bianchi. 



II. 



4. Le proprietà che svilupperemo ora si trovano enunciate nell'opera 

 citata del Biuuside, e siccome esse ci sembrano abbastanza interessanti, 

 vogliamo darne qui delle semplici dimostrazioni. 



Ricordiamo che si dice regolare una sostituzione sopra lettere, quando, 

 decompostala in cicli, questi risultano tutti di un medesimo numero di let- 

 tere. È evidente che il periodo di una sostituzione regolare S è uguale a 

 quello di un suo ciclo qualunque, ed è un divisore del numero totale delle 

 lettere su cui agisce S. In particolare le sostituzioni circolari sono da ri- 

 guardarsi come regolari di un solo ciclo. 



Dimostriamo il seguente teorema: 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè una sostituzione S 

 sia regolare, è che S sia la potenza di una sostituzione ciclica. 



Data una sostituzione ciclica qualunque C, agente sulle lettere #, , a% , 

 ... , #„, è evidente che tutte le potenze di C sono sostituzioni regolari sopra 

 le stesse lettere. 



Inversamente, sia la sostituzione regolare 



S = (&u , #12 film) • (#2t . 0-22 i ■•• i film) " (#31 i ■■■ i 0,3m) •■< (#«l > ••• i #n»i) i 



dove n è il numero dei cicli, e m è il periodo di S: questa si può scrivere 



S = (fin , #51 . #31 #ni . #12 ì #22 i '•• > #)!2 i #13 > •■■ i #lm i #Sm > ••• i #flm)" » 



che è la potenza n . ma di una sostituzione circolare sopra le mn lettere 

 di S. La condizione è dunque pure sufficiente. C. d. d. 



Osserviamo che, sebbene possa variare la sostituzione ciclica C, di cui S 

 è potenza, l'esponente x di C deve però essere multiplo di n. Infatti, se 



