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S = , si ha S m = C a ' m = l; e siccome C ha il periodo ma. .segue che 

 xm è un multiplo di mn, e quindi che so è multiplo di ». 



Corollario. Le potenze di sostituzioni regolari sono pure regolari. 



Infatti sia S una sostituzione regolare, potenza della ciclica C , e sia 

 S = C. Ogni potenza S* di S è = G rx , che è pure regolate. 



5. Ora dimostriamo il teorema: 



Le sole sostituzioni operanti su m lettere che Steno permutabili 

 con una data sostituzione ciclica C sulle stesse m lettere, sono le potenze 

 di questa sostituzione ciclica ('). 



Sia la sostituzione ciclica = (a . a x , ... , e sia 8 una sostitu- 



zione qualunque permutabile con C; poniamo 



dove le lettere a' , a[ , ... souo * e stesse lettere a , ai «„_i, in 



altro ordine. Si ha CS = SC, ossia S _1 CS = C; ma la trasformata S -1 (JS 



non è altro che («ó , a[ che dev'essere = C ; dunque le due sosti- 

 tuzioni cicliche 



coincidono. Posto che sia a' = a», dev'essere a' +i — a r +i . qualunque sia 

 f= 1 , 2 , ... , n — 1 , e quindi la S si può scrivere 



Dunque si ha S = C r . C. d. d. 



In generale se una sostituzione S sopra lettere è permutabile con G, 

 e se S agisce anche su lettere diverse da a , a x , ... . «>,_, , dal ragionamento 

 superiore si vede che S è il prodotto di una potenza C r per un'altra sosti- 

 tuzione T, agente su lettere tutte diverso da « p , a x , ... , a n -i • Dunque: 

 Le sostituzioni S permutabili con la sostituzione ciclica 



(*) Questo teorema è un caso particolare di un altro: Se G è un gruppo abeli ano 

 transitivo di sostituzioni, e di ordine uguale al numero delle proprie lettere, le sole sosti- 

 tuzioni sopra quelle lettere che siano permutabili con tutte quelle di <r, sono le sostitu- 

 zioni di G stesso. 



(a , «i , 



...,«„_,) e (a'o , a\ , ... , a'n-x) 



che è uguale a 



(a . a r , a sr , a 3r , ...) = (a , a x , a 2 , — , an-i) r ■ 



