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sono tutte e sole quelle della forma C r .T, dove T è una sostituzione 

 adente su lettere tutte diverse da a , a x , ... , a n _ v , e C una potenza di C 

 (eventualmente C = 1 , ovvero T = 1). 



Siccome C r , se non è l'identità, sposta tutte quante le lettere a„ , a y , 

 ... , « M=1 , segué come corollario: Ogni sostituzione S che sia permutabile 

 con la ciclica C , se non agisce su lettere tutte diverse da quelle di C , 

 deve spostare tutte quante le lettere di C . 



Ancora: Se una sostituzione ciclica S agisce sopra le lettere della 

 ciclica C e inoltre anche sopra altre lettere, la S non può essere permuta- 

 bile con C . 



Infatti in tal caso la S non si può decomporre in un prodotto della 

 forma C.T, essendo unica la decomposizione di una sostituzione in cicli. 



6. Dimostriamo ora il teorema: 



Se S e T sono due sostituzioni regolari permutabili sopra le stesse 

 mn lettere, e degli ordini m e n rispettivamente, con m e n numeri primi 

 tra loro, il prodotto ST è una sostituzione ciclica sulle mn lettere. 



Siano 



S = (ffn , #12 . ... , Uim) ■ (at\ , an , ... , #8m) ••• {dnì 1 #«2 i ••• i #nm) i 



e 



T = (A,, . b ìt , ... , b ìn ) ■ (bti ■ . ... , b ìn ) ... {b mi ■ b mt , ... , b mn ) 



le due sostituzioni permutabili date, essendo le lettere b^ nient'altro che 

 le «<jt, in altro ordine. Si ha T _1 ST = S ; ma T -1 ST si ottiene, sostituendo 

 alle an, ordinatamente le lettere in cui la T porta le medesime; sicché, 

 dovendo gli n cicli di T -1 ST coincidere con quelli di S, la T dovrà scam- 

 biare tra loro gli n cicli di S. Dimodoché se per esempio la T porta a u 

 in a%i, T dov.à portare le lettere del ciclo (« n , a l% , ... , a ìm ) in quelle del- 

 l'altro (a tl ,a t2 , ... ,a tm ); precisamente porterà a n in a %ì . , a xt in a t% . ecc., 

 «un in o-itn- E così in generale. 



Indichiamo per semplicità con C t , C e C„ gli n cicli di S; su di 



essi la T induce dunque una certa sostituzione, che dimostreremo essere 

 ciclica e di periodo n. Cioè dimostreremo che la T deve portare la lettera 

 « u del primo ciclo Ci in una lettera di un altro ciclo diverso dal primo: 

 questa seconda lettera in un'altra di un terzo ciclo diverso dai primi due, ecc.. 

 hno a ritrovare, dopo n volte, la lettera « n , dopo aver preso insomma una 

 lettera da ognuna degli n cicli C, , C 2 , ... , C„ . In altre parole, faremo 

 vedere che si possono cambiare opportunamente gli indici delle a^ . in modo 

 che quel ciclo di T che contiene a x , sia il seguente: 



(#11 > #21 i #31 • ■•• ì #nl) • 



