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Supponiamo, al contrario, che la T porti le lettere di C ( in quelle di C 2 . 

 queste in quella di C 3 , ecc., quelle di C r _i in quelle di C r , e queste ultime 

 in quelle di C, , e che sia vedremo che questo è un assurdo. Di- 



ciamo infatti a'n , a'u » «i»a ■> a\\ \ ••• > a' 2m , ... , a' rì a' rm le lettere in cui la T 

 porta rispettivamente a u , a, 2 , ... , a im , a 21 , ... , a ìm , a rx , ... , a rm . Decom- 

 posta la sostituzione 



/ fin , flit i ••• -, <%im » #21 i ••• i Asm 1 ••• 1 «ri > ••• j #r»»\ 

 i #n » ••• 7 ttim ì ^21 i ••• • O-im i ••• i Ori i • »■ > «rm ' 



in cicli, tutti questi cicli devono contenere lo stesso numero a di lettere 

 (chè tutti i cicli di T hanno n lettere) ; dev'essere quindi n un divisore 

 di rm, e siccome n è primo con m, dev'essere a un divisore di r, il che 

 è assurdo, essendo r<^n. e r > 1: Così la nostra affermazione è dimostrata. 



La sostituzione T porterà dunque le lettere di Ci ad esempio in quelle 

 di C 2 , queste in quelle di C 3 , ecc., quelle di C„_i in quelle di C„, e 

 infine le lettere di C„ in quelle di Ci- Ad esempio T porterà a u in a tì , 

 «?i iu «3», ecc., in a„, e a„ in a x , poiché allora il primo ciclo di T 

 deve chiudersi, essendo tutti i cicli di T di n lettere. Così un ciclo di T 

 sarà, poniamo dunque, il seguente 



(«u , a 21 . «ai , - , a„i) ; 

 e allora gli altri cicli di T saranno 



(«12 , (Ili . ^32 , • • , d Ki ) ; (fl 13 , #23 , ... . 



poiché si è visto ohe T deve scambiare tra loro i vari cicli di S. 



Adesso ci sarà facile dimostrare che anche il prodotto ST è una sosti- 

 tuzione regolare. Consideriamo infatti quel ciclo di ST che incomincia eon 

 a n : la ST porta a u in « 22 , # 22 in a 33 . ecc., e se questo ciclo contiene k 

 lettere, dopo k volte si ritroverà a n , Allora consideriamo quel ciclo di ST 

 che incomincia con « 12 : la ST porta a i2 in a 23 , a i3 in a 34 , ecc., e quindi 

 dopo k volte si ritroverà a 12 , sicché anche questo ciclo conterrà k lettere. • 

 Consideriamo quel ciclo di ST che comincia con « tl ; la ST porta # 51 in a 3t , 

 questa in « 43 , ecc., talché pure dopo k volte si ritroverà a tx , cioè anche 

 questo ciclo conterrà k lettere. Insomma tutti i cicli di ST contengono uno 

 stesso numero k di lettere. Ma siccome m e a sono primi tra loro, e S e T 

 sono permutabili, il prodotto ST avrà il periodo ma , e quindi ogni ciclo 

 di ST deve avere il periodo mn, vale a dire che ST è costituita da un 

 unico ciclo di ma lettere, e il teorema è così finalmente dimostrato. 



