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Posto ST = C, siccome le sostituzioni S e T sono permutabili col loro 

 prodotto C, S e T saranno due potenze della ciclica C: posto S = C r , e 

 T = C S . sarà ST = C+ s = C , oude sarà : r-\~s = l (mod m); e siccome 

 ] <; r <C m , e 1 < ' s <^m , si ha : 2 < r -f- $ << 2mn, e quindi r -J- s == 

 = m/2 + 1 . Il teorema enunciato può dunque completarsi, dicendo che S 

 e T sono potenze di una medesima sostituzione ciclica C , e che la somma 

 dei due esponenti è =mn-\-l. 



Matematica. — Una nuova dimostrazione del teorema di 

 ■Green. Nota di Mauro Picone, presentata dal Gorrisp. G. Fubini. 



§ 1. — Lìsmma: la resola di L'Hospital per lh. funzioni 

 di più variabili. 



1. Se a , b , ... , e sono numeri positivi e se le funzioni ¥(x , y , .... , *), 

 G{x , y z) sono continue, con le loro derivate prime, nell'insieme Sì de- 

 finito dalle diseguaglianze : 



x Q < x < x -\- a , y < y ^- Vo + b . ... i, z 9 < i s -f- c , 



^Ma/e me funzioni vengono esclusivamente considerate, se di più e 

 sempre in Sì 



G(z,y,...,*)=M> 

 G x {x i y ,...,*)> , G v (x , y ,...,*)> , G, . (ar , y ,»._,*) > , 



mentre 



F(*o , yo , ••• , *o) = G(-''o , //o f ) = , 



allora dall'esistenza dei limiti 



lira =— 7 — r , lim jf- — r , lim — -, 



m = m G a (cc, y . — m=m 9 Gj,(a; ,y , ... , s) m =m G a (x, y , ... , s) 



ove M e M designano i punti x , y , ... , s ; % , y , ... , s Q , e da^a 

 glianza di questi limiti, discende l'esistenza del limite 



FCr.?/ z) 



lim - 1 r 



m=m G(,r , y , ... , s) 



e l'eguaglianza di questo ai precedenti. 



Il teorema si dimostra subito. Supposto, invero, ,r = ili = •■• = = 0, 

 dalla eguaglianza 



F(j? ■ y , ■■■ ■ s) _ SxVJBx , fly fa) fl 



G(a: , y , ... , s) SxG^Ox , % , ... , 6g) ' ^ ^ ' 



