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segue che la frazione F/G è compresa fra la più grande e la più piccola 

 delle frazioni 



Fgffla- , % , ... ,6s) l\{6x ,tìy tis ) 



, 6y Og) G s {Ox . tiy Bz) ' 



§ 2. — Una nuova dimostrazione del teorema di Green. 



2. Questo teorema, che afferma le uguaglianze 



(1) CC^dxdy=\ Qdy ; ff^ = — | Pdx 



è dimostrato in tutti i trattati di analisi sotto la condizione restrittiva che 

 il contorno (Sì) del dominio regolare Sì sia incontrato da ogni parallela agli 

 assi coordinati al massimo in un numero finito di punti ('). Come primo 

 esempio di applicazione del teorema di unicità per una funzione additiva di 

 campo di derivata assegnata da me enunciato nella Nota Sulle funzioni 

 additive di campo, ultimamente apparsa in questi Rendiconti ( 2 ), dò qui, 

 del teorema di Green, una nuova dimostrazione elementare che lascia ca- 

 dere quella restrizione e lo stabilisco in tutta la generalità desiderabile per 

 ìe ordinarie questioni di Analisi. Dimostro cioè il teorema: 



Se nel dominio chiuso e regolare Sì sono definite le funzioni P , Q , 

 continue con lè loro derivate Q x , P,, , sussistono le eguaglianze (1). 



3. Dimostriamo la prima delle (1) e dimostriamola dapprima nella ipo- 

 tesi che il contorno (Sì) sia privo di punti singolari. Le due funzioni 



S,(.)= f| ì^dxdy , S 2 (*)= ( Qdy, 



sono funzioni additivo delle porzioni regolari t di Sì, di cui la prima ha 

 per derivata, in ogni punto di Sì, la funzione Q, x {a , y) , basta dunque di- 

 mostrare che la funzione 3 e (V) ha per derivata, nel senso del n 3 di (N), la 

 stessa funzione. 



(M Tale condizione viene, in conseguenza di ciò, a figurare quasi sempre nelle ana- 

 lisi dei problemi dei valori al contorno per le equazioni alle derivate parziali, analisi 

 che spesso si fondano appunto sulle formolo (1). 



Gino Poli nella Nota Sugli integrali ettesi al contorno di un campo qualunque 

 (Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, voi. 49, pag. 248), mediante una opportuna 

 estensione della definizione di integrale curvilineo, osservò però, fin dal 1913, che il noto 

 teorema di Fubini sugli integrali superficiali QCfr., per esempio, Ch. J. de la Vallee 

 Poussin, Cours d'Analyse infinitesimale (2 mo édition), t. II, Chap. Ili] assicura la vali- 

 dità del teorema di- Green, nel concetto di Lebesgue di integrale, per campi i cui con- 

 torni non devono ioddisfare ad alcuna condizione. 



(') Giterò questa Nota con la notazione (N). 



