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Matematica. — Sopra un tipo di equazioni integro- differen- 

 ziali. Nota I di Attilio Veroerio, presentata dal Socio Tullio 

 Levi-Oivita. 



1. Abbiasi la seguente equazione integro-ditferenziale: 



f 1 IP 



(1) u(s ■ t) == h(s , t) -f / | K (s . r) — - h(r , l) dr < 







dove «(s , ^) e una funzione nota, h(s . t) la funzione incognita e /) un nu- 

 mero finito intero e positivo. 



Supporremo che K(s , t) sia una funzione simmetrica delle due varia- 

 bili sei, entro il rettangolo = s= 1 ; Ó^^l , e soddisfacente in 

 esso alle condizioni dello Schmidt (*); che tanto la u(s , l) quanto le sue 

 prime 2p derivate parziali rispetto a t siano finite e continue per ^ s ^ 1 

 e / = ^ » essendo t una costante qualunque; ed infine che esistano le prime 

 4p — 2 derivate parziali della u(st\ rispetto a t . Ci proponiamo di dare una 

 formula risolutiva per l'equazione (1) (*). 



2. Se si pone 



(2) g(s,l) = u($a) — h(s?ty, 



la (1) diventa 



'7>*u(r,D ~ò p g(r,t)' 



(3) g{*,t) = X K(s,r) 



dr 



e poiché quest'equazione deve ammettere soluzione, nell'ipotesi che la .(1) 

 ne ammetta, dovrà necessariamente essere ( s ) 



co 



(4) g(s,t)=YQ M (s,t), 



per ogni valore di i~t a . 



Se inoltre indichiamo con W" ) (sJ) la funzione caratteristica della K(s,t) 

 .relativa alla costante Z\ ( 4 ). la quale, com'è noto, è una funzione finita com- 



(') Entwìcklung willkùrlicher functionen eie, Inaugural-Dissert., GCttingen, 190S. 



(') Di questo tipo di equazioni se n'ò già occupato l'Amoroso. Egli però si è limi- 

 tato al caso p=l (questi Rendiconti, 1912; due Note) e p = 2 (Atti della Società ita- 

 liana pel progresso delle scienze, 6 a riunione, 1912, pag. 743). Qui invece intendiamo 

 trattare il caso generale per p qualunque, purché intero e positivo, e sotto condizioni 

 alquanto più larghe per la K(s,<). 



(') À. Vcrgerio, Sulle equazioni integrali del tipo Fredholm (Rend. del Circ. Mat. 

 di Palermo, t. XLI, 1916; Gap. II, § 3, Teor. V). 



(*) A. Vergerio, loc. cit., Gap. II, §§ 1 e 2. 



