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mine; ovvero quando le derivate parziali della u(s,t) rispetto a t, da un 

 indice finito in poi, siano tutte nulle; la serie riducendosi allora alla somma 

 d'un numero finito di termini. 



Vogliamo qui dimostrare che ai due casi suaccennati se ne può aggiun- 

 gere un terzo; quello, cioè, in cui la (8) sia sommabile col metodo del 

 Borei. La dimostrazione c affatto simile a quella che abbiamo dato ( x ) per 

 una questione analoga riguardante le equazioni integrali di seconda specie 

 di Fredholm; ci limiteremo perciò a dimostrare il teorema per sommi capi, 

 rimandando il lettore, per maggiori dilucidazioni, alla mia Nota citata. 



2. Diremo che una serie di funzioni v„(s,t) (n = , 1 , 2 , ...) , con- 

 tinue nel rettangolo ~ s — 1 , Q = t ~ 1 , è sommabile quando 

 1°) la serie 



ce gtì 



S(s , / , x) = T a„(s , t) — (<r„(s ,t) '±= y .( s , /) -| \- Vn {s , t) ) 



è convergente per ogni x = finito, qualunque sia il punto (s,t) entro il 

 suo campo di variabilità; 



2°) l'espressione e - * S('«., t , x) tende per x — co ad un limite finito 

 e determinato S(s , t). 



Ricorderemo poi il seguente lemma; se f{s,t,x) è una funzione con- 

 tinua assieme alla — f(s,t,x) per ogni. x = in ogni puntò (s,t) del 

 ^>x 



rettangolo suddetto, e se l'integrale improprio 



r » 7) 



| e~ K — f(s,t,x) dx 

 converge, è pure convergente l'integrale 



e x f(s,t,x) dx ; 



si ha inoltre 



lini «-* f(i,t,x) = , 



qualunque sia il punto (s,l) nel rettangolo accennato. 



3. Dimostriamo anzitutto che la serie S(s,t,x) è sempre convergenti, 

 per ogni xr^Q finito, in modo assoluto ed indipendentemente dal punto (s,t). 



(') Un' applicatane del metodo di Borei per la tommaxione delle sene alla rito- 

 limone delle equazioni integrali (Rendiconti della R. Àccad. dei Lincei, seduta del 15- 

 aprile 1917). 



