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Se M è un numero finito e positivo si ha, infatti: 



|K(s,/)|<M, 



|K„(J,/)|<M»; 

 u< n npì (s,t)\ ^ ) \K n (s,ry 



ed in generale 



per cui 



u(r , /) 



l'osto | X | M = q , segue 



dr < M n m . 



v=o r=0 ' 



e qniudi 



co „r » , ,r ™ co 



I «M« , fi ^ I IMS , <) I ~ < T±~ I (1 - (T 1 ) 

 r=n ' • r=n ' • 1 V r=n 



X' 



m 



v r mg ^ (qx) 



\ 



1 — Qr=hr\ 1 — Q— n ri 



da cui risulta che per la serie S(s,^,a') è sempre soddisfatta la prima con- 

 dizione. 



Nello stesso modo si vedrebbe che la serie associata 

 v(s t ,x) = u (s, t) — 



- X U?>(S , X + X* Mp> (5 -, t) ~ - A 3 4 3W (* , ~ + • • ■ ( 1 ) 



converge anch'essa, in modo assoluto ed uniforme, rispetto ad s e /. per 

 ogni x finito e positivo e che inoltre è pure convergente uniformemente ed 



assolutamente la serie — v(s,t,%) ottenuta derivando, rispetto ad a?, la 



precedente, termine a termine. 



(') È quasi superfluo osservare che u,(s , t) — u($ t). 



