4. Si sostituisca nel secondo memb v o della (1) ad h(s,t) l'espressione 

 e~* S(s . t e si osservi che 



X j K(s , r) ~ ff n (r , t) dr = X ~ j K(s , r) <?„(> ,f) dr == 



- [* , ~ i* «?' (*.0H (-(-!)" ^ »&J (« , ] = 



Avremo : 



S(s , t , x) — l I K(s , r) — e~* S| r,t,x)dr = u t (s , — «T* y'(* » * t *) > 

 J§ di 



dove v'(s,t,:c) indica la derivata parziale rispetto ad x della v(s,i,x). 



Supposto ora che l'espressione « * — S(s,£.x) converga per x — ► oo. 



uniformemente al suo limite S(*,2), potremo invertire il segno di limite 

 con quello d'integrale; e poiché «siste finito e determinato il limite del 

 1* membro, elisterà tale anche quello del 2°; e quindi anche il limite 

 di e~ x v'(s ,t ,x). 



Ragionando come nella mia Nota citata e ricordando il teorema del 

 | 2. si dimostrerebbe con facilità che dev'essere 



lini e~ K v'{s J ,x)—*Q; 



X—*SJ 



e che quindi lino e~ x S(s , t , x) è veramente una soluzione della (1), alla 

 quale può darsi anche la forma 



f 00 



S (s , t) = ) e~ x o(s J,x) d% . 



