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Meccanica. — Traiettorie dinamiche dei sistemi olonomi còri 

 tre gradi di libertà. Nota di Attilio Palatini, presentata dal 

 Socio T. L evi-Civita. 



TI Birckhoff in un suo pregevole lavoro (') sui sistemi olonomi con du« 

 gradi di libertà, ha assegnato un teorema molto espressivo per le traiettorie 

 dinamiche di tali sistemi, nel caso in cui la corrispondente funzione lagran- 

 giana contenga anche termini lineari nelle componenti della velocità (pur 

 essendo esplicitamente indipendente dal tempo). Il problema in tal caso si' 

 suol chiamare irreversibile. 



La conoscenza di questo teorema mi ha spinto a ricercarne uno analogo 

 per i sistemi olonomi con tre gradi di libertà, sempre nell'ipotesi della ir- 

 reversibilità del moto. In questa Nota mi propongo di comunicare il risul- 

 tato al quale sono giunto. 



Nel n. 1 assegno l'equazione comprensiva delle traiettorie per i moti 

 in questione. A questa equazione vi giungo nel modo più semplice mercè un 

 criterio molto elegante, assegnato dal Levi Civita (*), che serve per passare 

 — nell'ordinaria meccanica dei sistemi olonomi, mobili sotto l'azione di 

 forze conservative — dal principio di Hamilton a quello della minima azione. 



Nel n. 2 passo all'interpretazione dinamica di questo principio. 



1. Il principio della minima azione per i sistemi dinamici con 

 tre gradi di libertà. — Sìa S un sistema dinamico con tre gradi di li^ 

 berta; ^i,C[t,q» denotino le coordinate di un suo punto qualunque e t il 

 tempo. Le equazioni del moto, indicando con L la fuu/ione lagrangiana del 

 sistema, si compendiano notoriamente nel principio variazionale 



(1) è j L dt = . 



L è una funzione quadratica nelle derivate q delle q rispetto al tempo. 

 Noi supporremo che L contenga anche termini lineari nelle q , ossia che i 

 legami a cui sono sottoposti i punti del sistema dipendano anche dal tempo, 

 come quando, ad es., si riferiscono ad assi uniformemente ruotauti. L sia 

 quindi della forma 



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(21 L = - Y rs a rs q r q, -f b r q r -\-c , (a rs = a sr ) . 



<-> i i 



( l ) G. Bircfchoff, Dynamical systtms with two degrtes of freedom [Transactions of 

 the American Mathematical Society, voi. XVIII, n. 2, 1917. pp. 199-300]. 

 (■J T. Levi-Civita, questi Rendiconti, voi. XXVI, 1917, pp. 458-470. 



