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•moto, la proiezione verticale del vettore aSÌ dell' impulso si mantiene 

 costante ». " 



Ponendo P = 0-f-a£J, il punto P descriverà la prima curva d'im- 

 pulso e, osservando che per la (I) si ha ( l ) 



P'=(«j2)'a=k Ag. 



P" = k A g' = k A (fi A g)= k X g . Sì — k X Si . g , 



si può concludere che * la velocità, con cui il punto P descrive la prima 

 * curva d'impulso, è normale al piano di k e g ed e proporzionale al 

 «■seno dell'angolo che il vettore g forma con la verticale; l'accelera- 

 ta none di P è complanare con i vettori il e g. 



2. Definizione degli invarianti principali S , 7', U e forma in- 

 trinseca delle equazioni di Hess. — Le grandezze S , T , Z7 sono de- 

 finite dalle relazioni 



(III) S = aflXg ; 2T = a fi X il : 2U = a il X a _Q 



e rappresentano rispettivamente le proiezioni del vettore aSÌ dell impulso 

 secondo i tre vettori g , Sì , aSÌ ; le due ultime rappresentano ancora rispet- 

 tivamente l'energia cinetica del sistema e il quadrato del modulo di ccSì. 



Queste grandezze, essendo dato da prodotti scalari tra vettori che non 

 dipendono da eventuali sistemi di coordinate, sono invariantive nel senso 

 che sono indipendenti da eventuali sistemi di assi di riferimento, pur po- 

 tendo essere, come effettivamente sono, funzioni del tempo. 



Dalle (III) è facile dedurre le equazioni del moto in funzione di S' , 

 T' . U'\ infatti, derivando le (III) rispetto al tempo e tenendo conto della 

 (!'), si ha 



, a) S' = g X aSÌ' = g X aSÌ A Sì 



(IV) . b) T'= SÌXaSÌ' = SìX k Ag 



' c) U'==afi X «SÌ' = aSÌX k Ag. 



I sistemi (IH) e (IV) danno rispettivamente le proiezioni dei vettori 

 a.Q e «Sì' sui vettori g , Sì ,ail e la conoscenza di tali proiezioni permette 

 di ottenere le espressioni dei vettori stessi. Infatti, applicando alle (III) 

 e alle (IV) un noto procedimento ( 2 ), si hanno rispettivamente le relazioni 



C) Cfr. R. Marcolongo, Sul moto di un corpo pesante intorno ad un punto /isso. 

 [Rend. dulia R. Accad. dei Lincei, voi. XVII. 2° seni. 1908], 



( 2 J La risoluzione dei sistemi di equazioni lineari vettoriali del tipo III e IV, cioè 

 del tipo 



aXk = fl • b X k = b > c X k — c 



•colla formula: 



a, A b X c . k = « b /\ e + ìc A a -f ca A 1» 

 -trovasi in Hamilton. Elementi of Quaternions (2 à Édit, 1S99). voi. I, pag. 341. 



