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dove A , a sono quantità reali ; quindi, con m numero reale, si può scrivere 

 aSÌ = kSì + a . g X Sì . g == kSì -j- mg 



e perciò si può concludere che, risultando il vettore a Si complanare con g 

 e con Sì. sarà gXi2A«#==0 e quindi la (6) non può essere soddi- 

 sfatta, c. d. d. 



Esaminando ora la (V), si vede subito che, perchè il vettore k risulti 

 finito e determinato, è necessario che sia diverso da zero il suo coefficiente, 

 il che importa, essendo 2Ug 2 — S 2 = (gA«&)\ che deve sussistere la 

 condizione * 



(7) g A aSÌ 4=0. 



Questa condizione non è evidentemente verificata solo nei seguenti tre casi : 



(8) g = ; aS2 = , a Sì = mg (m = numero reale). 



Tenendo presente che g = G — 0, si vede che nel 1° caso, coincidendo 

 il baricentro del giroscopio col punto fisso, si hanno i moti alla Pomsoi. 

 Nel '2° caso, invece, dalla (1) si ha (G — 0) = mk, con m numero reale, 

 il che significa che « il baricentro G del sistema trovasi sulla verticale 

 per il punto fisso » ; inoltre, essendo Sì X a Sì = 2T = . risulta nulla la 

 energia cinetica e quindi il giroscopio deve essere in riposo. Nel 3° caso, 

 infine, il vettore et Sì dell'impulso, dovendosi mantenere parallelo al vettore 

 G — 0, avrà direzione fissa nel corpo; inoltre, risultando per la (IV C ) 

 U' = e quindi 2U = (a Sì) 2 — costante, il vettore dell'impulso avrà pure 

 costante la grandezza. Questo terzo caso è particolarmente interessante e 

 sarà dettagliatamente studiato in una prossima Nota. Intanto, osservando 

 ancora che nei casi in cui non è soddisfatta la condizione (7) non può es- 

 sere soddisfatta neppure la (6), si conclude che * i giroscopi simmetrici, 

 « in generale, ed i giroscopi asimmetrici, nei casi particolari ora indi- 

 ai cati, si sottraggono all'indagine fatta per mezzo delle equazioni diffe- 

 « renziali ridotte » . 



Si può ancora dimostrare che « se due qualunque degli invarianti 

 « S. T . U sono costanti, cioè indipendenti dal tempo, sarà necessaria- 

 « mente costante anche il rimanente ». Infatti, se due qualunque degli in- 

 varianti S , T , U sono costanti, saranno nulle le corrispondenti derivate ri- 

 spetto al tempo e dalle (IV) risulta immediatamente che. per qualunque 

 combinazione, il vettore g è sempre complanare con i vettori SÌ,etSÌ,k. 

 Da ciò segue che dovrà essere necessariamente nulla la rimanente derivata 

 e quindi costante l'invariante corrispondente, c. d. d. 



Dimostro infine che «_se tulli e tre gl'invarianti S, 1\ U sono co- 

 vi stanti, il moto del giroscopio si ridurrà ad una rotazione permanente ». 

 Basta osservare che, per le fatte ipotesi, l'energia cinetica e il modulo del 



