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Per dedurre la 2* delle (11). si moltiplica scalarmente la (V) per il 

 vettore g A aSÌ e si ottiene, tenendo presente die è 2UV — S 2 = (e A a22) 2 , 

 la relazione 



kXgA"«fl=U'. 



Osservando ora che. per la (IV C ), è ancho 



kX;;Aafì = «flX aSÌ' 



si ricava, tenendo anche conto della (10), 



«22 X [«22' -J-gAk] = «22 x a = 0. 



Per ottenere, infine, la 3* delle (11), si moltiplica la (V) scalarmente 

 per ir A £ e si ha 



(g A aiì) 2 . k X g A 22 == 



= [— {h - T) S -f kg*] . «22 X g A 22 + CS A «12), X (g A 22) . U' 



e da qui, sviluppando l' ultimo termine e tenendo conto della (VIJ o 

 delle (IH), si ricava 



(g A «22) 2 . k X g A 22 = [(/,. — T) S — /^ 2 ] S' -f- [2T ^ — S . g X 22] U'. 



Ora. per la (VI&), il 2° membro di questa equazione è uguale a 

 ■(ir A ccSìy T', quindi, tenendo anche conto della (IV 6 ), si ottiene 



k X g A22 = T' = 22X «22' 



e da qui, tenendo poi conto anche della (10), si ha 



22 X («22' -f- g A k) = 22 X «1 =.- : . 



Dopo aver dimostrato cosi che il sistema (11) è una conseguenza delle 

 equazioni differenziali ridotte, si osserva che le (11) sono evidentemente 

 verificate se è 



(12) a = «22'-{-22 A «22-f- g A k=0, 



mentre, per a 4= - esprimono che i vettori g . aSÌ , 22 sono normali al vet- 

 tore a e quindi tra loro complanari; perciò deve essere, per a^O, 



(13) S' = gX«22 A 22 = 0. 



Poiché in nessun altro caso le (11) possono essere soddisfatte e poiché 

 la ("12) esprime che sussistono le equazioni di Euler, mentre la (13) im- 

 porta che devo essere S = !? X a 22 = costante, si conclude che * per poter 

 » dedurre, come conseguenza, dalle equazioni differenzi-Ai ridotte quelle 

 * di Euler, basta che l'invariante principale S sia funzione del tempo ». 



