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Con un procedimento analogo si può esaminare se e quando l'equazione 

 (II) possa dedursi, come conseguenza, dalle (V) e (VI). Si consideri il 

 sistema 



(14) kXk'=0 ; !;Xk' = ; «iìX k'-f-aX k = 



■dove a è il vettore definito dalla (10); si dimostra che le (14) possono de 

 dursi, come conseguenza, dalle (V) e (VI). 



Infatti, per ricavare la l a delle (14) si moltiplica la (V) scalarmente 

 per k e, tenendo conto delle (2), (3) e (IV C ), si ottiene 



(2 U z 2 — S 2 ) k 2 = 2U {h — T) 2 — 2 k S (A — T) + k 2 g 2 + D' 2 



e da qui. tenendo conto dell'espressione (VI C ) di D', si de luce che deve es- 

 sere k X k = 1 da cui, derivando rispetto al tempo, si ha kXk' = c. d. d. 



Per dedurre poi la 2 a delle (14), si moltiplica scalarmente la (V) 

 per g e. tenendo presenti le (III), si ottiene subito 



k X g - A — T , 



si ha cioè l' integrale delle forze vive, dal quale, derivando, si ricava 

 k'Xg + k XSÌ A g .= — T". 



Osservando che, per la (1V 6 ), è g X li A £ = — T', si deduce che deve 

 essere 



k' X g = . 



Finalmente, per ricavare la 8* delle (14), si osserva che può scriversi 

 a Sì X k' -}-a X k == aQ X k' -f {a fi)' Xk=(aflX k)' ; 



ma daUa (V), moltiplicata scalarmente per afi t si ha 



aSÌX\s. = k 



dove k è la costante dell' integrale delle aree, quindi si conclude che deve 

 essere 



«J2Xk' + aXk = c. d. d. 



Supponendo ora che l'invariante S sia funzione del tempo, risulta a = 

 e quindi la precedente equazione si riduce ad ai2Xk'=0 e le (14) si 

 scrivono 



(14') kXk' = ; ujXk' = ; «J2Xk' = 0. 



Queste equazioni sono evidentemente soddisfatte se è 



(II) k' = 



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