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mentre, per k'4=0. esprimono che i vettori k,ir,a.Q devono essere com- 

 planari, cioè 



(15) D' = kXgA«fl = 0. 



Osservando che in nessun altro caso le (14') possono essere soddisfatte 

 e che la (15) importa che deve essere 2U = (a! Q) 2 = costante, si conclude 

 che « quando non sono costanti nè l'invariante S, né l'invariante U, allora 

 « le equazioni di Eider- Poisson sono una conseguenza delle equazioni di 

 « Hess- Sehiff » . Da ciò segue che « per l'equivalenza fra i sistemi di 

 « Hess- Sehiff e di Euler-Poisson basta che gl'invarianti principali S e TI 

 « siano funzioni del tempo « . 



Se, invece, entrambi i detti invarianti non dipendono dal tempo, la 

 equivalenza non sussiste e, secondo quanto è stato dimostrato nel paragrafo 

 precedente, sarà indipendente dal tempo anche T e il giroscopio eseguirà 

 delle rotazioni permanenti. 



Se poi è costante uno soltanto degli invarianti S e U, allora si hanno- 

 due casi eccezionali che saranno esaminati in una Nota prossima. Pertanto 

 risulta chiaro che la presente ricerca, condotta con metodo rapido e sem- 

 plice, oltre a stabilire nel modo più generale i criteri di equivalenza fra 

 i detti sistemi di equazioni differenziali, dimostra Vesistema dei due casi 

 eccezionali S = costante , U= costante. 



L'aver ammessa come intuitiva tale equivalenza condusse Hess ('), nel 

 caso U=cost.. a risultati erronei, riconosciuti tali dallo stesso Hess ( 2 ), 

 il quale volle trovarne la spiegazione nel fatto che, mentre U = cosi, è una 

 soluzione singolare delle equazioni di Hess-Schiff, la forma delle equazioni 

 di Euler-Poisson non ammette soluzioni singolari. 



La superiorità del metodo dell'equivalenza su quello delle soluzioni 

 singolari, impostato dall' Hess, risulta senz'altro dal fatto che, mentre il 

 primo permette di dimostrare con estrema semplicità la non identità dei 

 due sistemi di equazioni differenziali e l'esistenza dei due casi eccezionali, 

 il secondo, invece, mediante calcoli enormemente più complicati, conduce a 

 tutta una serie di possibilità che poi, in ultima analisi, si riducono ai due- 

 casi qui trovati. 



(!) Ved. loc. cit. s nota (*). 



( 2 j Hess, Weber die Eulerschen Bewegungsgleickungen uni ihre singulàren Ldsungen 

 [Programm des Lyceums za Bamborg (a. 1889)]. — Ueber die Eulerschen Bewegungs- 

 gleichungen uni ùber eine neue partikulàre Losung des Problems der Dewegung eines 

 starren Korpers um einen festen Punkt [Mathein. Annalen. Bd. 37, pp. 153-181, a. 189CQ- 



