Entro questo sistema diciamo y la trasformazione rappresentata dalle 

 equazioni 



(2) Uf = >_ u h (j = 1 • ... p) 



k 



che ha un punto unito nel punto 



Ui — Uì = ■ ■ = u p == ; 



e per comodità di scrittura indichiamo con T(%) o y(«,) il valore di u'j dato 

 dalla (1) o dalla (2), riguardando in queste notazioni T e / come dei sim- 

 boli operativi. 



Allora è chiaro che qualunque sia l'intero positivo m si ha : 



(3) T">(«,) = y m (uj) + y m -\cj) + Y m - 2 (Cj) H h + q (./ = 1 - P). 



2. Adesso indichiamo con n il periodo di T. 



Allora T" sarà l'identità e quindi, indicando con (Sii , Sì ìf ... , Sì-) un 

 conveniente sistema di periodi simultanei delle variabili Ui , u t , ••• , % dovrà 



essere 



T"(«,'). 4- £/ 



ossia per la (3) sarà: 



(4) Y n (»j) = m + % — Y n - l (Cj) — y n -\ y(cjì — c, [ j = 1 ... p). 



Le (4) mostrano che la trasformazione y" è una trasformazione di V p 

 in sè di 2 a specie ( ! ). 



D'altro canto y n ha un punto unito nel punto u t = u 2 — ■ ■ = u p = ; 

 dunque y" è identica e la trasformazione y è periodica, avendo per pe- 

 riodo n o un divisore di n. 



3. Indichiamo con ^'il periodo di y; allora è periodica ed ha il periodo n' 

 anche la sostituzione riemanniana di V p collegata a y ( 2 ); e quindi le ra- 

 dici dell equazione caratteristica di questa sostituzione sono tutte radici 



esime' dell'unità. 



Lo stesso si ha allora per le radici dell'equazione caratteristica della 

 sostituzione lineare (2) rappresentante y. 



Se queste radici si indicano con «!,« 2 ... e p si può supporre, premet 

 tendo, ove occorra, una sostituzione lineare sulle variabili u x u z ... u p , che 

 le equazioni (2) della trasformazione y abbiano la forma semplice 



(5) u'j=£j Uj (J = 1 ... p). 



Qui ognuna delle sj è una radice n' esima dell'unità; ma non è detto che 

 «sse siano tutte distinte o che esse siano radici primitive n' esime dell'unità. 



(') Vedi Scorza, loc. cit., Parte II, n. 3. 

 {-) Id. id, n. 4.. 



