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Sia per es. s l = t z = • • • = e h = 1 e le , fh+z ■■■ £ p siano tutte 

 diverse da uno. Allora se m è multiplo di ri sarà 



T m (u j ) = u j 

 per i valori di j scelti nella serie 



h -f 1 , /i + 2 ... ; 



mentre per i valori di j scelti nella serie 



1 , 2... h 



sarà qualunque sia m 



T m (Uj) = uj + mcj . 



Siccome n è appunto un multiplo di ri e T" deve essere l' identità, si 

 conclude che il sistema dei numeri [nc x , nc % ... nc p , ... 0) deve essere un 

 sistema di periodi simultanei delle variabili Uj . 



Di qua si trae che questa volta nelle equazioni di T le costanti addi- 

 tive Ch+i , c h + 2 ■•• Cp sono delle costanti qualunque, mentre le costanti c x , 

 c t ... c h debbono essere tali che (ne, , nc 2 ... nc p ,0,0... 0) risulti un sistema 

 di periodi simultanei delle variabili Uj, senza che risulti tale il sistema dei 

 numeri \rc ì , rc % ... rc p , , ... 0) con r intero positivo multiplo di ri e mi- 

 nore di n. 



3° Caso. Tutte le radici tj siano uguali all'unità. 

 Allora un ragionamento analogo a quello fatto or ora mostra che nelle 

 equazioni di T le costanti c x , tf 2 ... c v debbono essere tali che (nc x , nc 2 ... nc p ) 

 risulti un sistema di periodi simultanei per le variabili % senza che risulti 

 tale \rc x ,rct , ... , rc p ) con r intero positivo minore di n. D'altro canto in 

 tal caso le equazioni di T diventano 



U 'j = Uj-\-Cj (j = l...p) 



e quindi in tal caso T è una trasformazione di 2* specie. 



Riassumendo abbiamo il seguente teorema fondamentale: 



Le trasformazioni birazionali periodiche di una varietà abeliana 

 in se stessa, se p è la dimensione della varietà, si distribuiscono in 

 schiere continue dì dimensione ^p, a meno che non siano trasfor- 

 mazioni di 2 a specie. 



Notisi che il 2° caso, considerato più sopra, non può presentarsi se 

 la matrice cui appartiene Y p non ammette assi. 



E infatti corrispondentemente alle h radici s l ,s s ...s h eguali ad l , la 

 equazione caratteristica della sostituzione riemanniana di Y p legata a T 

 possiede una radice eguale ad 1 e multipla secondo 2h (<2p), cui corri- 

 sponde, per l'omografia riemanniana col legata alla sostituzione, uno spazio 

 razionale di punti uniti della dimensione 2h — 1 . 



E questo spazio è un asse della matrice cui appartiene V p . 



