si possono formare combinando, per somma e sottrazione, le serie date 

 colla serie canonica g$fl t . 



Questo principio porge un metodo per la risoluzione delle questioni nu- 

 merative, e permette — nei singoli casi — di aggiungere, alla formula cer- 

 cata, la sua interpretazione funzionale. 



Mi limiterò ad indicare alcuni esempi istruttivi. Ed, in particolare, ri- 

 troverò per questa via una formula già data da Schubert, Segre, Castel- 

 nuovo, che — per l'uso fattone dal Castelnuovo nella dimostrazione del 

 teorema di Riemann-Roch — ha acquistato una importanza fondamentale 

 per lo sviluppo della teoria, secondo l'ordine di concetti di Segre ( x ) e Ca- 

 stelnuovo ( 2 ). La maggiore semplicità (oltreché l'espressività) del metodo 

 che mi porge la detta formula, anche in confronto al metodo che si basa 

 sul principio di corrispondenza sopra le curve (adoperato da Severi), risul- 

 terà evidente ad ognuno. 



2. Anzitutto la definizione della serie jacobiana di una serie \a\ si 

 lascia generalizzare, prendendo in \a\ una g r n ~ l con r>2, e costruendone 

 il gruppo dei punti r-pli: invero è facile riconoscere che questo gruppo, G, 

 al variare della <?£ _1 entro | a | varia in una serie lineare. A tale scopo si 

 può invocare il teorema generale che « una serie razionale di gruppi di punti 

 è sempre contenuto in una serie lineare » o, più semplicemente per questo 

 caso, basta osservare che alle oo' g r ~ l aventi a comune una g r ~^ (e quindi 

 contenute in una g r n ) corrispondono gruppi G formanti una involuzione li- 

 neare, ossia equivalenti. 



Ora sommeremo alla data g r ~ l un punto P e troveremo che esso si 

 aggiunge al gruppo dei punti r-pli della g r ~ l contando, nel gruppo analogo 

 della g r ^\ = g r ,r l ~h precisamente per r: si valuterà tale molteplicità, r, 

 che costituisce un carattere differenziale del punto P sulla curva, sostituendo 

 a questa una curva razionale osculatrice. In tal guisa, designando con \a r \ 

 la serie lineare che contiene i gruppi di punti r-pli di \a\ (|a ; -j = |a,|) e 

 con \b r \ l'analoga serie covariante di una serie \b\ \ si troverà la relazione 

 fondamentale : 



| (a -f- b) r j == | a r -J- rb \ = \ ra -f- b r \ . 



Di qui emerge che la serie | a r — ra , supposta esistente, è un invariante 

 della curva. Si riconosce di più che essa è multipla della serie canonica, 



secondo il numero r , — — . 



a 



( l ) Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito 

 (Annali di Mat., serie II, tomo XXII). 



(*) Ricerche di geometria sulle curve algebriche (Atti della R. Accademia Torino, 

 tomo XXIV, 1889). 



