— 373 — 



e di qui coli' uso della formula ricovrente che precede, o — addirittura — 

 mutando n in n/r, si deduce 



L' interpretazione funzionante della formula viene suggerita dal proce- 

 dimento che ci ha condotto a stabilirla e non presenta difficoltà. 



Nel caso più semplice di r = 2 , e prendendo due g' n contenute in una 

 stessa gl, si ottiene in tal guisa la definizione della serie canonica come 

 differenza della serie cui appartiene il gruppo delle coppie neutre e del 

 multiplo secondo n — 3 della g\ ; sicché, traducendo in linguaggio proiet- 

 tivo, si ha la dimostrazione diretta dell' invarianza della serie segata 

 sopra una curva piana d'ordine n dalle curve aggiunte d'ordine n — 3. 

 Nondimeno questa dimostrazione diretta è superata in semplicità dalla di- 

 mostrazione che si fonda sull'uso della serie jacobiana, specialmente perchè 

 non importa qui fare appello al teorema che una serie razionale è contenuta 

 in una serie lineare. 



4. Ora conviene rilevare che il procedimento, adoperato per trovare il 

 numero dei gruppi di r — (— 1 punti comuni ad una g r n e ad un'altra involu- 

 zione lineare g' m , si estende al caso in cui la g' m venga rimpiazzata con 

 un'involuzione irrazionale y' m . Si è anche qui ricondotti al numero delle 

 coppie comuni ad una g' n e alla y' m . 



Ma questo numero si lascia calcolare collo stesso metodo usato dal 

 Segre per una g\ e una g' m , metodo che — ■ nello sviluppo delll'A. — porge 

 la dimostrazione dell'invarianza del genere e la formula di Zeuthen. Infatti 

 si associno i gruppi della g' n che contengono due punti di un medesimo Gr OT 

 della y' m ; si avrà fra gli elementi della g' n una corrispondenza 



con 2n(m—\) elementi doppi. Questi elementi doppi corrispondono: ai 

 gruppi G„ aventi una coppia G 2 comune con un G TO ' di y' m , da contarsi 

 due volte, e ai gruppi della y' m dotati di un punto doppio, che — per una y' m 

 di genere n — sono in numero di ò = 2p — 2 — m(27T — 2) (formula di 

 Zeuthen), Si deduce che il numero delle coppie G 2 comuni ad una y' m di 

 genere ti e ad una g'„ .sopra una curva di genere p, vale: 



E da ciò si è condotti alla formula di Schubert che dà il numero N r)77 dei 

 gruppi di r -f- 1 punti comuni ad una g r n e ad una y' m di genere n . Basta 

 cambiare, nell'espressione di N r , il p in p — mu, e si ottiene: 



N r == f(r ,n,m)*=(^ ^ \ (n — r) — ^ _ |j j> . 



\ji (m — 1) , n(m — 1)] 



(n — 1) (m — 1) — p -j- m tv . 



