essere la potenza p e>ima di un binomio di 2° grado in x della forma 



se 2 + kx + B 



dove A e B sono funzioni razionali intere di fi' e fi", con coefficienti razio- 

 nali, anzi, per un noto teorema di Gauss ( 1 ), con coefficienti interi. 

 Poniamo pertanto 



B = Cy« + D/i V + E/» 



con C , D , E interi. 

 Dall'identità 



| fi' a' r , + fi" a'; s — e„ x 1 = (z 2 -f- A x + B)* 

 segue, per ^ = , 



I / a'r, + ^" a'r', \ = BP — (CV 2 + DjitV" + Eju" 2 ) 2 ? . 

 Di qua risulta : 



«) che tra le sostituzioni riemanniane della nostra matrice sono mo- 

 dulari tutte e sole quelle rispondenti ai valori interi di fi' e fi" che sod- 

 disfanno all'equazione 



(3) Cu' 2 + Ufi' n" -j- E/i" 2 = = 1 ; 



i?) che le due omografie della matrice degeneri (ma non nulle) sono 

 quelle rispondenti ai valori di fi' e fi" per cui è 



(4) C/i' 2 -f Dfi' fi" + E/ ( " 2 = . 



Poiché di tali omografie degeneri ne esistono appunto due, reali, di- 

 stinte, ma non razionali, perchè gli spazi « e a' sono due pseudo-assi e non 

 due assi della matrice, nella (4) è 



D 2 — 4CE 



positivo e non quadrato perfetto. 



Segue che le (3) considerate come due equazioni indeterminate di 2° 

 grado in fi' e fi", sono equazioni di tipo iperbolico a discriminante non 

 quadrato, per modo che appena una di esse ammette una soluzione con nu- 

 meri interi ne ammette addirittura infinite ( 2 ). 



Ma una di esse, almeno, qualche soluzione sì fatta la possiede certo, 

 perchè di sostituzioni riemanniane modulari la nostra matrice, come ogni 



(') Cfr., per esempio, Cipolla, Analisi algehrica ed introduzione al calcolo infini- 

 tesimale (Palermo, Capozzi, 1914), pag. 401. v 

 ( 2 ) Vedi, per es.. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, art. 216 e 217. 



