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altra matrice riemanniana, ne ammette almeno due (quella identica e l'op- 

 posta) ; dunque almeno una delle (3) ammette infinite soluzioni intere, e la 

 Lostra matrice possiede infinite sostituzioni riemanniane modulari. 



Di qua segue che la varietà Y p ammette una infinità discontinua di 

 schiere oo? di trasformazioni birazionali in se stessa (*); dunque possiamo 

 enunciare il teorema: 



Se una varietà ab eliana della dimensione p è pura ed ha gli in- 

 dici di singolarità e moltiplicabilità eguali entrambi a 1 , p è necessa- 

 riamente pari e la varietà ammette una infinità discontinua di schiere oop 

 di trasformazioni birazionali in se stessa. 



Geometria. — A proposito di un teorema del Lie. Nota I di 

 Nicolò Spampinato, presentata dal Socio Castelnuovo. 



Il Brambilla, estendendo un ben noto teorema del Lie sulla superficie 

 di Steiner, dimostrò nel 1899 che: 



Il luogo dei poli di un iperpiano rispetto alle coniche di una su- 

 perficie di Veronese è ancora, in generale, una superficie di Veronese. 



Studiando la geometria delle cubiche di un piano, per la tesi di laurea 

 da presentare nel prossimo giugno alla Facoltà matematica della R. Uni- 

 versità di Catania, mi è venuto fatto di osservare che del teorema del Lie 

 può darsi una estensione assai più vasta di quella osservata dal Brambilla, 

 in quanto che invece di fissare l'attenzione sopra una superficie di Veronese 

 può prendersi a considerare la superficie razionale normale dell'ordine n % 

 n in "4~ 3 ) 



dello S> , con N = . rappresentata sopra un piano dal sistema li- 



nearB oo N di tutte le curve di ordine n , e contenente una rete omaloidica | L | 

 di curve razionali normali di ordine n. 



È noto infatti (Clifford) che, data una curva razionale normale, esiste, 

 nello spazio a cui essa appartiene, una ed una sola reciprocità involutoria 

 nella quale ad ogni punto della curva corrisponde l'iperpiano iri osculatore 

 alla curva, tale reciprocità involutoria risultando una polarità od un sistema 

 nullo secondo che l'ordine della curva è pari o dispari. 



Ma allora, fissato nello S N , contenente la nostra superficie, un iperpiano, 

 e detto polo di questo rispetto ad una curva L il polo della traccia del- 

 l' iperpiano sullo S„ contenente L rispetto alla reciprocità di Clifford deter- 

 minata da L, possiamo domandarci guale sia il luogo dei poli dell' iper- 

 piano rispetto alle oo 2 curve L. 



(!) M., Parte II, n. 2. 



