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imagiue, in S N , del sistema dei K" di q spezzati ciascuno nel punto P e 

 in n — 1 punti residui comunque presi su r . 



Siano ora Pj , ... , PJ, gli n punti in cui r. viene secata da una curva C«. 

 di q rappresentata da un iperpiano di S N che diremo a. I punti Pi , ... , P„ 

 comuni ad a e ad L rappresenteranno gì' inviluppi spezzati nei punti n-\A\ 

 Pi , P 2 , ... , P n . 



Si vede subito che gli n Sn — 1 osculatori ad L in Pi ... P„ si secano 

 nel punto A imagine, in S N , del K n spezzato negli n punti P[ , ... , P^ . 



Per quanto è detto nell' introduzione il punto A è il polo di a rispetto 

 ad L. Ora invaginiamo di tener fissa la curva C£ , cioè di tener fermo in S N - 

 l' iperpiano a e di far variare la curva L in | L | , cioè la retta r in q . 



Il punto A varierà descrivendo una superficie V che sarà il luogo dei 

 poli di a rispetto a tutte le curve della rete | L | di W" 2 . 



È chiaro che la V rappresenterà i K" spezzali nei punti dei singoli 

 (/ruppi della g% secata su C« dalle rette di q . 



7. Dal teorema del n. 2 si deduce che fra i gruppi di una g\ secata 

 su Ga da un fascio di rette di q , ve ne sono n formanti dei K" coniugati 

 ad una seconda curva G" prefissata. Ciò significa che la curva di V rappre- 

 sentante i K" di q spezzati nei gruppi di g\ è di ordine n. Ne segue che: 

 Su V esiste una rete omaloidica di curve razionati d'ordine n ( 1 J. 



Possiamo dire inoltre (applicando lo stesso teorema del n. 2) che gli ce 1 

 gruppi della g\ su C", tagliata dalle rette del piano, coniugati a Ci for- 

 mano una serie y n la quale ha in comune con ogni g\ di g 2 n gruppi. Al- 

 lora diciamo y' n la serie relativa ad un'altra curva C|r. Le serie y n e y' n 

 stanno nella g\ e perciò si secano in n 2 gruppi, cioè vi sono n 2 gruppi 

 della gl formanti K n coniugati alle curve 0" e C^/. Ciò significa che: 

 La V è dell'ordine n 2 . 



Applicando poi il teorema enunciato alla fine del n. 5 si ricava che: 

 La V è immersa in uno spazio avente al più la dimensione N , 

 N — 1 o N — 2 secondo che l'intero n è della forma 2/t , Ak -f- 1 o 

 4&-L-3 ( 2 ). 



(') Si può osservare che queste curve risultano in generale normali. Ciò segue dal 

 fatto che se »-f- 1 gruppi della g l n secata su C£ da un fascio di rette di q risultano 

 coniugati ad una curva O di p, questa ha per imagine in-S N un S N -i contenente quella, 

 diciamo A, delle nostre curve che corrisponde alla considerata g„. Ora l'imporre a una C" 



la condizione di essere coniugata a un gruppo di questa gà è per essa una condizione 

 lineare; dunque per A passa un sistema oo N—w— 1 di iperpiani, cioè A è normale. 



( a ) Il sig. Bordiga ih un suo lavoro [_Sul modello minimo della varietà delle n-pìe 

 non ordinate dei punti di un piano, Annali di Matematica, 19 18J ha considerato la su- 

 perficie di S N rappresentante i gruppi di punti della g- tagliata sopra una curva C" 

 dalle rette del suo piano. Ma, indotto in errore dal caso n = 2 , afferma che detta super- 

 ficie è in generale normale per S N , mentre se n è dispari non è mai tale. 



