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Diremo invece « antecedente « di x uno di quelli definiti da 



Sulla curva (2) diremo perciò che un punto P = (x y ) è antecedente 

 •di un punto Q = (xi , y^) se 



sc\ —/(#«) 

 = /"(^o) = od ; ?/i = /■(,?/«) = ffa) . 



Quindi, due punti P e Q di cui il primo sia antecedente del secondo 

 •sulla curva sono dati da 



PE=(a: , Q = (a;i,^ 2 ). 



Tutti gli antecedenti e conseguenti di un valore x , i loro antecedenti 

 e conseguenti, quelli di questi, e così via, formeranno l' insieme [X„] con- 

 gruente con x ■ 



Ci proponiamo appunto di studiare [X ] al variare di ed al variare 

 di « (*). 



3. Chiamiamo antecedente negativo di x Q , e antecedente positivo (o con- 

 seguente), l'antecedente ottenuto dalla (1) scegliendo pel radicale il segno 

 meno o il segno più. Si hanno allora i lemma: 



Lemma I: L'antecedente positivo coincide con il conseguente negativo, 

 ■ e reciprocamente. 



Lemma II: L'antecedente di un qualsiasi punto congruente ad 

 può sempre ottenere come antecedente di x stesso. 



Il lemma II si deduce subito dal primo: poiché questo dà appunto il 

 legame che esiste fra ant ecedenti e conseguenti ; e quindi la scelta alterna- 

 tiva di antec. e conseg. potrà ridursi alla scelta unica di antecedenti soli. 



Per dimostrare il primo lemma, trasformiamo la (1). Poniamo 



y = cos rj ; x = cos £ ; a = cos 8 ; 



poco importandoci se £ , rj , 8 risultano reali o complessi. 



Notiamo poi che £ ,rj , 8 restano determinati a meno di multipli di 2n 

 ed a meno di n (trattandosi del coseno). 



Sostituendo nella (1) avremo: 



cos rj = cos £ cos 8 rt sen £ sen 8 



(') Considerazioni simili e risultati analoghi a quelli che otterremo, si avrebbero 



et I ■ 2C 



per l'iterazione di y = ~ — , ponendo jf = tg^,£ = tg£;a=tg0. Le curve ora 



scritte sono iperboli equilatere aventi gli assintoti paralleli agli assi ed il centro sulla 

 bisettrice y + x = 0, 



