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 e quindi, a meno di multipli di 27r, 



= £ 6 , y z = £ + (6 -f- n) 



poiché è fissato a meno di n. 



Quindi, ne deduciamo il lemma I ; e si deduce ancora il 



Teorema. L'insieme [X ] dei punti x congruenti ad x è dato da- 



x' r = cos £' r ; £r = O -4- rd 

 av=cos^' ; ? r '=8,+re + n. 



4. Se d è un angolo reale, si presentano due casi distinti: 



1) 6 è commensurabile con 2?r, cioè = m/n.2Tc, con m , n primi 

 fra loro. 



2) 6 è incommensurabile con 27r. 



Nel primo caso, se cioè 6 = m/n .2tt , la successione di valori con- 

 gruenti si compone sempre di un numero finito di punti, precisamente 2w;. 

 e quindi si avranno (in) punti sull'ellissi, dati dalle coordinate 



(a?0 , X\) i (X\ , 3CÌ) , ••• , (<£)i_i , £Co) (%r == 5 ) • 



È chiaro che se, ad esempio, si scelgono sempre dei conseguenti posi- 

 tivi, la successione delle iterate non potrà tendere a nessun limite. 



Passiamo al secondo caso: sia reale, non commensurabile con 2tt. 

 Allora non vi sarà nessun punto £ -f- rtì , f -f- rd -f- n che possa coinci- 

 dere con un altro, ed i punti t' r , formeranno sull'asse £ una successione 

 di punti equidistanti. 



In tal caso però i valori 



; 



i quali dànno ad x' r ,x" lo stesso valore che formano un insieme 



ovunque denso nel tratto (0 , 2tt). 



Infatti, date £ e ff piccolo a piacere, si potranno sempre trovare due 

 interi k , r tali che : 



|(?o— A.2*r)j = |(f. + r«) — (f + 2*w) |< <r , 



Quindi, se cc è reale, i suoi congruenti formeranno un insieme ovunque 

 denso sul segmento ( — 1 , — |— 1), perchè 



X r — COS £ r = COS £ r . 



Ed i punti P sull'ellissi assegnata formeranno un insieme egualmente 

 denso ovunque. 



