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Se £ fosse complesso e 6 reale, avremmo 



%r = (i»o + rd ) + * V o 



ove si segni £ r per & e ?" , sostituendo a ^ il /*ó e /»ó' + n - Ma 



cos f r = cos -f- rQ ) cos * r o — sen (l^o -f- sen ?1 'o — 

 = cos (/«„ + rO) Ch j' — s sen (/.i -{- ^) Sh r 



e si deduce facilmente che nel piano complesso u -j- »t> tali punti sono si- 

 tuati sull'ellissi 



^ = cos £ Ch (t' ) y = sen £ . Sh (v ) 



j Ch(r ) j ^ j Sh(i- ) j 



Epperò se ne deduce ancora, per commensurabile, che, qualunque 

 sia £ complesso, si hanno sempre 2n punti, mentre per incommensura- 

 bile si ha un insieme ovunque denso su tale curva. 



5. Passiamo infine al caso di complesso; allora sarà 



£»• = (^o + ^Vo) + z'K + r ^o) , 



e quindi 



Xr = cos 5 r = cos (/*„ -f- ry ) Ch (v -j- r%) — i sen(/i + A'y ) Sh (>'„ + ri// ) 

 o ancora 



%r = 7,( e ' * )' 



E si vede che supposto, ad es., t/> ? positivo, il primo termine tende 

 all'infinito per r negativo, mentre il secondo tende a zero; e reciprocamente 

 per r positivo. 



Quindi se è complesso, i punti successivi se ne vanno all' infinito. 

 Se a è reale, sarà imaginario puro. 



Da tutto quanto precede risultano le seguenti proprietà: 

 Se le curve devono essere reali, a sarà reale. 



Per |«|<^1 si hanno ellissi di semiassi |/l-f~ a ? M — a sulla prima 

 e seconda bisettrice. 



Per a reale compreso in tale intervallo vi è un insieme ovunque denso 

 di valori, per cui [X ] si riduce ad un numero finito di punti ; e precisa- 



mente per a = cos — — . gli iterati d'un punto qualunque formano un po- 

 ligono di 2n lati sulla curva. 



Rendiconti. 1919. Voi. XXVIII, 1° sera. 55 



