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Matematica. — Le parallèlisme de M r . Levi-Civita et la 

 vourbure riemannienne. Nota di Joseph Pérès, presentata dal Socio 

 T. Levi-Civita. 



1. Cette Note est une contribution à l'étude du parallèlisme dans une 

 variété V„ à métrique quelconque. notiou récemuient introduite par M. Levi- 

 Civita ('). 



Soit Xi (i — 1,2,... n) un point de la variété V„ et 

 (/) ds 2 = ^_ a ih dx( dxn 



l'élement liaéaire de cet espace. Soit (i= \ , 2 , ... n) un vecteur de cet 

 espace ayant son origine en Xi (c'est-à-dire déteiminant une direction de ce 

 point); le déplacenient de ce vecteur parallélement à lui-mème, suivant une 

 courbe G (nous dirons translation suivant G) est détìni par les équations 

 différentielles 



d$H , v ( V ) dx\ 



qui définissent les £ s en fonction de l'are s de la courbe donnée G. On sait 

 qn'en général la nouvelle position de & après une translation, est fonction 

 de ligne de G. 



Si l'on effectue la translation suivant une courbe fermée infiniment 

 petite r , partant d'un point M pour y revenir, les composantes fi subissent 

 des variations que nous allons calculer ( 2 ). 



(') Cfr. dans les Rend. Palermo (1917), le deux Mémoires essentiels de M. r Levi- 

 Civita et de M. r Severi. 



( 2 ) M. Levi-Civita a Fobligeance de me signaler, à propos de cette Note, un Mémoire 

 de M. Schouten [Terh. K. Akad. Amsterdam. 1919] où est étudiée la meme question 

 (pp. 64-65). 



La méthode de M. Schouten suppose seulement la courbe r particulière et consti- 

 tuée par un parallélogramme infiniment petit. Le calcul des à'Si est alors aisé: M. Schouten 

 utilise un symbolisme vectoriel très élégant,, mais assez complexe; si l'on revient aux 

 notations plus classiques on 'constaterà que le calcul à effectuer coincide avec celui qui, 

 au § 16 du Mémoire de M. Levi-Civita, le conduit à la formule (35); l'interprétation 

 seule diffère. 



La méthode que j'indique ici est nouvelle et me semble présenter certains avantages, 

 elle ne donne pas lieu à des calculs plus longs que la précédente et conduit au calcul 

 des rffi quelle que soit la forme de la courbe f. 



