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et, puisque 



f ->=A ~ 



(4) Sj- k = — ^_ ^ J jieA , fo" j I x\ dx' x . 



ila - Jr 



Les symboles de Riemann à quatre indices s'introduisent ainsi naturelleraent. 

 Les intégrales qui tìgurent dans le second membre détinissent, en grandeur 

 et orientation l'aire de la courbe JT. Elles sont proportionnelles à OìQx — qìO\ 

 et la formule (4) s'écrit, àS etant l'aire de la courbe r 



(5) JÌ = - T - ^ iM ' U ^ {6i Qx ~ Qi6x) 

 avec 



A 8 = >_ (a iv . ax h — a ih a x ^) (0* q x — &x QÌ) Qh — Qy. h) • 

 ik , [ih 



Si, comme nous le supposerons désormais (cette vestrietion n'a rien 

 d'essentiel) on prend les vecleurs 0; et qì de longueur 1, A est le sinus 

 de leur aDgle. 



3. Les forrnules (5) sont celles que j'avais en vue, on voit qu'elles 

 détinissent les variations dg h en fonction de l'orientation de l'élément P . Il 



est évident que les quantités sont des dérivées, au sens de la théorie 



db 



des fonetions de lignes, des fonctions de lignes détìnies par les équations (1); 

 en effectuant le calcul à partir de cette nouvelle dérìnition on retrouve les 

 forrnules (5) par une voie differente. 



Le produit géométrique du vecteur J£ ft par un autre vecteur £ ft est 

 donne par la formule 



(6) X a fts <ff ft = — X (vh,il){Z [ ,U — hC,)((ìiQx — (>i6x) 

 hk i"k,fih 



à Faide des symboles de Riemann ( ), il en résulte, en particulier, l'ortho- 

 gonalité de £ ft et «Jf . 



Remarquons aussi que l'on déduira, de la simple inspection des forrnules 

 (5) et (6), les propriètés essentielles des symboles ) [ et ( ) de Riemann. 



4. Ce qui précède conduit aussi, naturellement à la notion de courbure 

 Riemannienne. 



Prenons pour vecteur ^ le vecteur 0,-, soient òdi les variations de ce 

 yecteur après translation suivant la courbe r. Nommons enfin òB. le prò- 



