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Posto a = xB, l , e tenuto conto della (1) abbiamo: 



XB? 1 _x_ 



K } fM ^{x+lf 280" 



Il 2° membro è positivo per x compreso fra e 5,89 ... ; sarà dunque 

 X positivo per valori di a compresi fra e 5,89 . . . . Detto -V il poten- 

 ziale attrattivo della massa terrestre in un punto, r la distanza di questo 

 punto dall' asse terrestre e posto 



W = fV + lw 2 r 2 , 



sarà W = cost l' equazione delle superficie di livello e il valore della deri- 



vata presa secondo il raggio vettore GP in P sarà uguale a — X. 



Resta dunque dimostrato che lungo ogni raggio vettore la funzione W è 

 continuamente decrescente a partire da Si fino, almeno, ad una distanza 

 da G uguale, in cifra tonda, a sei volte il raggio terrestre. 



3. Consideriamo ora una sfera S 2 di centro G e di raggio a, tale che 

 si abbia insieme: 



(3) a<5,89...E, ^ > + j «« cr . 



Poniamo, per fissare le idee, a = 4R, X , valore che soddisfa a entrambe queste 

 condizioni Siano Q e P le intersezioni di un raggio uscente da G colle 



sfere Si,S 2 . In Q la W è certamente maggiore di in P si ha 



2Ki 



fM 



W <C 7T -f- \(o ì a ì , e tenuto conto della (3), a fortiori sarà nel punto P , 



W <C 7^5- • Poiché W decresce di continuo da Q a P, vi sarà, fra Q e P 



fM 



un punto, ed un solo, nel quale W = — — . Il ragionamento vale per 



ogni raggio uscente da G. Vi ha quindi una superficie di livello chiusa, tutta 

 compresa fra le due sfere Si , S 2 , e che incontra una sola volta ognuno dei 

 raggi uscenti da G. 



w 2 R 3 1 



(!) Poiché 1 non è ^ a (3) sarà soddisfatta, quando lo sia quest' altra 



a — Ri 280 \ R, ) 

 la quale è soddisfatta da ogni valore di a compreso fra 3,02 .Fu e 15 . Ri . 



