— 65 — 



Infatti: posta in la origine e n essendo definito da 



2 = h (h = cost) , 



e la S da 



s = 2(xy) , 

 un punto di S verrà a proiettarsi in 



£ = h y' = h i = h . 



g{xy) * z{xy) 



e, in forza della corrispondenza stabilita, devesi avere 



E:F :G::r:s:t , 



essendo su n ds 2 = 'Edx 2 -f- 2F dxdy -f- Gdy 2 , ed rst i simboli di Monge 

 per le derivate seconde di z(xy). Ossia, indicata con fi una funzione di xy, 

 devesi avere 



!H r r = z l — 2xpz -f- / )2 (^ 2 + y 2 ) 

 /xs = z(qx-\-py) — pq{x 2 + y 2 ) 

 fit=s 2 — 2yqs + q\x 2 + y 2 ) . 



Se però noi poniamo 



x 2 + y 2 

 u = — — 



z 



si ha 



~ò 2 u (2s — (x 2 -\-y 2 ) r)z 2 — 2zp(2xz — (x 2 + y 2 )^) _ 

 ^ 2 — 



= — 7 r + (« 2 — + P 2 (^ 2 + # 2 ) ) 



z s 



l) 2 l(, 



~ìx ~òy ìy 



si ha 



~òx 



dalla quale, unita alle analoghe per ^ — , tenuto conto delle (1) 



x 2 \ z 3 z / ~ùxìy \ z 3 s J ~òx l>y \ z 3 s ) 



Ossia r ,s ,t differiscono dalle analoghe derivate seconde di u per un fattore 

 di proporzionalità k, che (come si dimostra con semplici calcoli di deriva- 

 zione) deve essere costante, a meno che rt — s 2 non sia nullo. Il caso 

 rt — s 2 = porta alla soluzione ovvia z = cost. Escluso questo caso, la fun- 



