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in relazione di similitudine o d'inversione per raggi vettori reciproci 

 rispetto al centro di proiezione. 



Passando al campo imaginario dalle (3) e (4) otteniamo 



„ . a ,lR DR „DR .DE 



^ ±2?yi+j9 2 +^ =t 2i]/EG — F 2 



,., , ,,DR DR n DR v DR 



DR G ^- E ^~ DR 



^ — 2*f/l + j» 2 + ^ =f= 2^/EG — F 2 3» 



e le condizioni d' integrabilità per il binomio — dx -\ ci danno per 



Di3? Dy 



per la S la nota equazione differenziale 



~ DR t, 1)R „ 7)R "ì)R 

 G F — E F — 



Da? ' j/EG — F 2 ' f/EG — F 2 ~~ 



essa ci dice che: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una superficie S ammetta, 

 oltre alle proiezioni per similitudine ed a quelle per inversione reciproca, 

 altre proiezioni conformi su superficie S' (imaginarie se la S è reale), è 

 che le sfere aventi il centro nel punto di proiezione segnino sopra S un 

 sistema isotermo di linee ed il logaritmo della distanza di un punto va- 

 riabile della superficie dal centro di proiezione sia parametro d'isometria. 



In tale caso, ridotto l'elemento lineare di S alla forma isoterma 



si avrà 



X (dW + dV 2 ) 



R 



2i * x 2 -{-y 2 + z 2 



Notiamo poi come se il centro di proiezione si allontana all' infinito 

 da S , la serie di linee sferiche concentriche costituenti sistema isotermo 

 sulla superficie S tendono a divenire linee piane parallele costituenti un 

 sistema isotermo. 



Trattiamo questo caso notevole per via diretta: 



Assunta la z nella direzione della proiezione, siano z = z{xy) e &=&(xy) 

 le equazioni delle superficie S ed S'; avremo 



rtl+*>-l + (H)- „ = ^ M(1+J .) _(£)'+! 



