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di G in un punto qualunque M di S è funzione simmetrica rispetto alle due 

 terne di coordinate del punto P e del punto M ('). 



È ben noto il modo con cui si è condotti alla definizione della funzione G, 

 quando si voglia determinare una funzione u poli-armonica di grado n, me- 

 diante i valori che essa e le sue derivate fino a quelle di ordine n — 1, secondo 

 la normale, assumono al contorno. 



Ma la determinazione di una tale funzione presenta gravi difficoltà. Così 

 prescindendo dal caso ordinario di n ■ = 1, la seconda funzione di Green (n = 2) 

 per uno spazio a due dimensioni, specialmente interessante per le applica- 

 zioni a problemi relativi alle lamine incastrate, è stata determinata: dal 

 prof. Lauricella nel caso di un piano infinito limitato da una retta e nel 

 caso di un campo circolare ( 2 ) ; dal prof. D'Arcais nel caso di una corona 

 circolare ( 3 ). 



D'altra parte- i bei lavori del prof. Almansi ( 4 ) hanno fatto risolvere, 

 indipendentemente dalla ricerca della funzione di Green, il problema della 

 determinazione della funzione poli-armonica di grado n pel cerchio ed il 

 metodo è senz'altro applicabile al caso della sfera. 



La formula del prof. Almansi conduce a calcoli laboriosi, anche quando 

 la si voglia applicare al caso speciale della ricerca della funzione di Green. 

 Perciò credo interessante esporre un metodo semplicissimo che permette di 

 assegnare la funzione di Green di grado n per la sfera, risolvendo un sem- 

 plice sistema di equazioni lineari. 



1. 



Sia a il raggio della sfera nel cui centro è posta l'origine degli assi: 

 P {pc\ ili Zi) il polo interno alla sfera, q la sua distanza dal centro; M (x, y,z) 

 un punto qualunque interno alla sfera e diciamo r ed r' le distanze di M 

 da P e dalla sua immagine P'. 



Poniamo : 



Q , 

 ri= — r ; 



a 



la funzione r x (del punto M) è regolare entro la sfera, come pure il 



. 2 



2 ri = 7[ ' 



quindi, essendo: 



J± r, = 



(•) Cfr. Boggio, Atti R. Acc. d. Se. di Torino, voi. XXXV. 



(*) Meni. Acc. delle Se. di Torino, Ser. II, voi. XLVI; Atti Acc. Se. di Torino, 

 voi. XXXI. 



(3) Atti R. Ist. Veneto, Ser. VII, toni. IX. 



( 4 ) Annali di Matem., Ser. Ili, toni. II. Vedi ancora i lavori del Levi-Civita, del 

 Boggio. 



