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a ri è bi-armonica entro la sfera. Inoltre è noto che quando M trovasi sulla 

 superficie della sfera si ha: 



V\ = v . 



Il metodo che espongo si fonda su questo teorema generale : la funzione : 



yXìl— 1 rpik 



dove li e k sono numeri interi e positivi {lo zero compreso) tali che 



h-\- k = n — 1 , 



è poli-armonica di grado n. 

 Infatti poniamo: 



_ ~òrf^_ Drf'- 3 7^ >f~ 3 ~ìr^_ ~òr\ h - 3 

 ix 1x ~ly ìy * ~òz ' 



e supponiamo che si sia dimostrato : 



^2 cn-sj fi = . 



Dico che : 



Ci 



soddisfa la 



Basta osservare che: 



r y 

 ■ — ix ix 



J 2n a — . 

 2k— 1 



2h — 3 



tifi 



e che: 



essendo a, è, <? delle costanti. Se quindi si nota che : 



Vrf _ _ _ 

 7># 2 ~~ 7>y 2 ~ 7>; 2 _ C ° S ' 



si scorge subito che: 



a = a' ^ 2(n _ 2) fi + é'r? ^cn-,, fi + e'^p ^%=*>i 



e quindi è vero il teorema. 



Collo stesso metodo si verifica che posto: 



fi' = Y ^— 



se è: 



sarà pure: 



