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E poiché, come subito si verifica, il teorema è vero per: 



k = 2, h — e per k = n e h = 



così è vero in generale. 



Dopo ciò possiamo dimostrare, col metodo di induzione, il teorema gene- 

 rale enunciato. Ammettiamolo infatti vero per due numeri h e k tali che: 



h-{-k = n — 2. 



Osservando allora che: 

 risulta : 



Ma per h -f- k = 1 il teorema è verificato; dunque esso è vero in generale. 

 Si deduce quindi che le u funzioni: 



v .Zn— 3 v&n— 5 ™2 „<,2rc— 7 ~,4 ~, »,2(n— 2) «,2(n— lì 

 'l )'l '> ' l ')•••• i " 1 ' > { 



r, 



sono funzioni poli-armoniche di grado n nell'interno della sfera e sono omo- 

 genee di grado 2n — 3 rispetto r e n. 



2. 



Consideriamo ora una funzione lineare ed omogenea delle n precedenti : 

 (2) Gr = a 1 rV 1 - 3 + a 2 ri n ~ 5 r 2 -f • + a*., r, r 2(,i - 2) -f ' 



Dico che potremo determinare le costanti a.i in modo che siano soddisfatte 

 le (1). 



La prima condizione infatti ci dà: 



a -+- a v -f- + a n-\ + &n = 1 



che possiamo scrivere: 



(G) = r 2 "" 3 



intendendo che in (G) si è fatto r = ri . 

 Abbiamo poi: 



dGr efr\ p rfr 



, — bri , -+- Ito , 

 dì' av clv 



in cui per compendio si è posto: 



