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le n equazioni precedenti assumono la forma più semplice: 



(3) »(1) = 1, (l)=y'(l) = = ^«-»(l) = 0. 



Queste, sviluppate a loro volta, conducono al sistema seguente di equazioni 

 lineari: 



a x -f- a % -j- ck + . . . + ««-ì + a n = 1 



(2n — 3) a x -j- (2n — 5) a z -f- + a„_i — a„ = 



(2rc — 3) (2« — 4)a, + (2« — b){2n — 6)a 2 + ... + 3.2a n _ 2 ... -f- 1 .2a» = 



La ennesima equazione nel caso di n dispari è: 



(2n— B)(2n— 4)...(n— l)a 1 + ...-f nla^ +1 .2 ...(n— 1)^=0. 



2 



Nel caso di w pari 



(2n — S)(2n— 4)...(rc— l)ai +,...+(»— — 1.2.3. ..(«— 1K=0. 



2 



Non sembra agevole poter esprimere la forma generale di risoluzione per 

 ai sotto forma semplice. 



Possiamo quindi dire che: 



la funzione di Green di grado n per la sfera è dunque data dalla (2) 

 in cui i coefficienti costanti a, sono determinati dal sistema (3). Così, per 

 es. la funzione di Green di 2° grado (o seconda funzione di Green) è data da; 



quella di 3° grado da: 



quella di 4° grado da: 



_L Ut JL 

 2 r, + 2 Tì 5 



3 r* 3 , 1 3 



__ 7 + _ rir2 __ r s. 



— — + 7^ r, r 4 — — ri r 2 + — rS ecc. 

 16 r x 16 16 16 



Lo stesso metodo si applica alla ricerca della funzione di Green di 

 grado n nel caso del cerchio, cioè di una funzione poli-armonica di grado n, 

 che al contorno soddisfa le 



_ 2n _ 2 . #G d l (r 2w - 2 lo g r) 



G=r l0 ^ r; u = — d? — • 



Basta osservare che le funzioni: 



