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Questo principio si può estendere al caso dello spazio indefinito limitato 

 dalla superficie sferica di raggio R. Infatti basterebbe estendere al caso 

 nostro i calcoli del prof. Almansi; ma è più semplice procedere nel se- 

 guente modo. 



Sia u una funzione biarmonica, regolare nei punti dello spazio indefinito 

 limitato dalla superficie e della sfera di raggio R ; e sia, per un momento, 

 (>' il raggio vettore che parte dall'origine e va ad un punto qualsiasi di tale 

 spazio. Mediante un'inversione, fatta in base alla sfera data, la u si trasfor- 

 merà in una funzione u' regolare nei punti dell'interno della sfera e la qu 

 sarà una funzione biarmonica (') dei punti di questo spazio; e, se si vuole 

 che la u a distanza infinita divenga infinitesima del primo ordine, la qu' 

 dovrà divenire per ^ = infinitesima del secondo ordine. Ora la qu si può 

 porre sotto la forma: 



qu = (R 2 — q 2 ) (fi rp l , 



con (f x , if.ii funzioni armoniche tali che per q = l'espressione R 2 (fi -J- xp x 

 divenga infinitesima del secondo ordine. 



Si ha ancora, ripetendo la medesima inversione, 



u = k* - f y + = w -w(»$+¥)+vf. 



dove <p[ , ?/'! sono le trasformate di ($ x , tpi e dove le espressioni 



9 9 9 



sono due funzioni armoniche, di cui la prima a distanza infinita diviene infi- 

 nitesima del terzo ordine, la seconda infinitesima del primo ordine. Adunque 

 per lo spazio indefinito limitato da er varrà ancora la formola (1), con l'av- 

 vertenza che a distanza infinita la (p divenga infinitesima del terzo ordine, 

 la xp del primo ordine. 



2. Si ha per i punti dell'interno della sfera di raggio R: 



(2) 9=t n Q n %, ip=l n 9 H x:, 



o o 

 per i punti dello spazio indefinito esterno alla sfera di raggio R : 



(2)' = 

 dove Y'„ , Y'n , Y,' ( " , Y^.'" sono convenienti funzioni sferiche di ordine n, e dove 



( l ) Cfr. Volterra, Sulle funzioni poliarmoniche. Atti del R. Ist. Veneto, tora. LVII. 



Y 



y 



Y 



