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ancora Y' " = Y[" — 0; per cui sarà nei punti dell'interno della sfera: 



(i)' u= t n? «!R 2 Y;,-Y;,_ 2 + Y;;;, 







nei punti dello spazio indefinito esterno alla sfera: 



(ir u = £ ; -èi ì R 2 x: - , + r;"\ . 



o Q 



Queste due formule dimostrano la prima parte del risultato enunciato. 



3. Indichiamo ora con /, i valori arbitrariamente dati di u nei punti 

 della superficie a , con f\ quelli della derivata normale di u pure dati ad 

 arbitrio nei punti di er; e vediamo in che maniera si possono determinare 

 le funzioni sferiche Y^, , Y^' , Y^" , Y' n '" da sostituire nelle (1)', (1)". 



Osserviamo anzitutto che, come apparisce dalla (1), la funzione armonica ?/' 

 nei punti di e coincide con la funzione u\ in questo modo nei punti di a si 

 dovrà avere ip = fi ; e quindi sarà : 



dove P n è la nota funzione di Legendre. 



Le serie (2) nei punti della sfera e le serie (2)' nei punti dello spazio 

 indefinito limitato da <r sono derivabili termine a termine ; per cui si potrà 

 scrivere per i punti dell'interno della sfera: 



= - 2? Xn q h y« + £„ ^"-'y;; + (R 2 - ? 2 ) £„ rc^- 1 y; . 







per i punti del campo indefinito limitato eia a: 



w f— * £. p p-^-rt |» (« + • 



Moltiplichiamo ambo i membri della (4) per P n e integriamo a tutta 

 la superficie sferica a' di raggio q •< R ; moltiplichiamo ambo i membri 

 della (4)' per P n e integriamo a tutta la superficie sferica a" di raggio ?>R. 



