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di numerazione; allora qualunque altro intero N, compreso fra e g* + \ si 

 può scrivere sotto la forma seguente : 



(1) N = a + g. a, -f g 2 . a, + . . . + g\ a k , 



ove #o * #i ? • - • ? a* sono interi non negativi minori di , i quali sono deter- 

 minati univocamente dalla conoscenza di N e g. Indichiamo con S y (N) la 

 somma delle cifre del numero N scritto nel sistema di numerazione avente g 

 per base; poniamo, cioè, 



(2) S 5 (N) = a + «i + «2 + ... + «* 

 Sottraendo la (2) dalla (1) si ottiene 



N - S, (N) = (g — 1) a, + fo« - 1) a 2 + .. . -f fo* - 1) a*. 



Ora tutti i binomi g — 1 , g* — 1 , . . . , g ,! — 1 sono divisibili per g — 1, 

 onde lo stesso accade per tutto il secondo membro dell'ultima eguaglianza 

 scritta e quindi per la differenza N — S g (N). Se quindi a è un qualunque 

 divisore di g — 1 , affinchè esso divida anche N bisogna e basta che sia un 

 fattore della somma S g (N). Si raccoglie da ciò il seguente 



Teorema I. — Affinchè un intero N sia divisibile per un altro numero 

 intero a, è necessario e sufficiente che risulti divisibile per a la somma 

 S g (N) delle cifre del numero N scritto in un sistema di numerazione 

 avente per base g un multiplo arbitrario di a aumentato di uno. 



Questa proposizione insegna in sostanza un procedimento per ridurre la 

 ricerca delle condizioni di divisibilità di N per a ad altra analoga, ma concer- 

 nente un numero <C N. Orbene, se il numero N è molto grande, per raggiun- 

 gere lo scopo bisognerà applicare nuovamente il teorema ora dimostrato, cioè 

 considerare la somma delle sue cifre, vale a dire il numero S fy [S !; (N)] = S(; 2 ' (N); 

 se ciò non basta si ricorrerà a S g [S tJ (2) (N)] = S„ C3) (N), e così via. Ora la 

 considerazione delle somme successive delle cifre di un numero complica 

 un po' la ricerca e si può evitare talvolta ricorrendo ad un teorema simile 

 al precedente e che in modo analogo si dimostra. 



2. Chiamiamo per brevità somma alternata delle cifre del numero N, 

 scritto sotto la forma (1), la somma delle sue cifre, prese con segni alternati, 

 e poniamo: 



(3) S g * (N) = a — a x + a, — . . . + (— 1 ? «* • 



brando essa capace di soddisfare pienamente le esigenze della pratica, altre ne vennero 

 escogitate: la più recente conta poche settimane di vita, essendo stata pubblicata nel fa- 

 scicolo di agosto-settembre 1901 del giornale Mathésis (v. l'articolo J. Malengreau, Ca- 

 rattere de divisibilìté par un nombre quelconque); tale regola è più complicata (tanto 

 nell'enunciato, quanto nell'applicazione) di quella che è oggetto del presente scritto, ma 

 potrebbe agevolmente dedursene. 



