Togliendo la (8) dalla (1) si trova: 



N - B g * (N) = a, (g + 1) + cu, {rf - 1) + . .. « s fo* -f (- 1)*+') . 



Ora tutti i binomi # + 1 , g 2 — 1, . . . g k -f- ( — l)*- 1 " 1 sono divisibili per 

 g -f- 1 5 onde lo stesso vale per tutto il secondo membro di questa relazione 

 e quindi anche per la differenza N — S ff *(N). Si può pertanto ritenere dimo- 

 strato il seguente 



Teorema II. — Affinchè un intero N sia divisibile per un altro numero 

 intero a, è necessario e sufficiente che riesca divisibile per a la somma 

 alternata S g * (N) delle cifre del numero N scritto in un sistema di 

 numerazione avente per base un numero g, il quale sia eguale ad un mul- 

 tiplo di a aument ato di uno ('). 



3. Emerge dalle due proposizioni precedenti che la ricerca delle condi- 

 zioni di divisibilità di un numero qualsivoglia N per un numero intero a, 

 non differisce dalla questione di scrivere N in un assegnato sistema di nume- 

 razione. È questo un problema che non offre alcuna difficoltà teorica, ma 

 che in pratica conduce, mediante calcoli laboriosi, a conclusioni di forma 

 variabile al mutare di a. Orbene, entrambi questi inconvenienti si evitano 

 quando, partendo da un numero scritto nell'ordinario sistema decimale, si 

 assume poi come base g una potenza di 10. Se infatti è 



(4) N = ff + 10 «i + 10*02 + ... 



e si scrive 



N=(« +10« 1 +...4-10 frt - 1 « m _ 1 ) + 10 1 »(« m +l0a M+1 + ...+ lCT-^n-O-K.., 



tosto si vede che il numero N, scritto nel sistema avente per base il nu- 

 mero 10 m , ha per cifre consecutive 



a 10 -f- ... -J- 10 rrt_1 «m-i , a m + 10 a m+i + ••• + iO™- 1 a 2m -i , ... 



le quali si ottengono semplicemente ripartendo le cifre del dato numero N 

 (supposto sempre scritto nel modo ordinario) a partire dalla destra in tanti 

 gruppi formati, tutti meno eventualmente l'ultimo, ciascuno di m cifre con- 

 secutive. Applicando ora i teoremi precedenti si traggono tosto questi altri : 



Teorema III. — Affinchè un numero N, scritto nel sistema decimale, 

 sia divisibile per un numero intero a, il quale sia fattore di IO" 1 — 1 , 

 è necessario e sufficiente che riesca divisibile per a la somma dei nu- 

 meri risultanti dal separare, finché ciò sia possibile, le cifre di N in 

 tanti gruppi di m cifre ciascuno, a partire dalla destra. 



Teorema IV. — Affinchè un numero N , scritto nel sistema decimale, 

 sia divisibile per un numero intero a, il quale sia fattore di 10 m -f- 1 , 



(') [ teoremi I e II sono già noti: v. ad es. Kronecker, op. cit. p. 109-110. 



